由具有豐富考研輔導經驗的教師團隊編寫，緊扣碩士研究生入學考試大綱，在習題部分精選了歷年的考研真題

融匯了編寫者多年的教學心得，對于教學內容的編排進行了獨創性的探索

在知識體系的構建上突出學生思維發展的自然過程，注重數學思想的滲透

在語言敘述上深入淺出，方便學生的自學

體現了先進的教育理念，突出以問題為紐帶的教學

線性代數是大學理、工、經管、醫、農等學科所有專業必修的一門重要數學基礎課，它的理論與方法已成為科學研究及處理各領域問題的有力工具。由于線性代數理論性強，概念抽象，教學時數又較少，如何科學地處理教材內容一直是我們近年來思考的問題。

本書在編寫過程中，著重突出了以下幾個方面：

（1）為了方便學生自學，在內容編排上盡量做到深入淺出。有些內容學生完全可以自學（如本書的引言部分），節省了有限的教學時間。

（2）在內容選擇上以國家數學與統計學教學指導委員會制定的《工科類本科數學基礎課程教學基本要求》為準，同時涵蓋了碩士研究生入學考試大綱（數學一）的要求。

（3）在知識體系的構建上突出學生思維發展的自然過程。如對于行列式的概念，將其安排在了矩陣概念引入之后進行講解，有助于學生對知識的把握。

（4）在有些內容編排上進行了獨創性的探索。如對于矩陣秩的概念，本書中是以初等變換下的標準形的角度來進行引入的，對于目前通行的以行列式定義的方法則以附錄形式給出。

（5）突出了以問題為紐帶的教學。在引言部分，將全書的前6章以線性方程組的求解問題有機地聯系在一起，使學生能夠帶著問題學習。

參加本書編寫的有池自英（第1章）、盧鳳梅（第2章）、鄭旭東（引言、第3～6章）、董勝偉（第7、8章）、楊樺（第9章），全書由鄭旭東統稿并負責修改定稿。由于編者水平所限，書中難免存在疏漏與不妥之處，懇請使用本書的教師和學生提出寶貴的意見。

編 者

2010年2月

前言
引言 線性方程組的消元解法 1
0.1 線性方程組及消元法 1
0.1.1 線性方程組及消元法 1
0.1.2 消元法的實質——線性方程組的初等變換 2
0.2　線性方程組的解的問題 4
0.2.1 線性方程組的簡化表示形式——矩陣概念的引入 4
0.2.2 線性方程組的求解問題、解的判定問題、解的結構問題 6
第1章 矩陣及其運算 8
1.1 矩陣的概念 8
1.1.1 矩陣的定義 8
1.1.2 矩陣的相等 9
1.1.3 幾種特殊的矩陣 9
1.2 矩陣的運算 11
1.2.1 矩陣的線性運算 11
1.2.2 矩陣的乘法 13
1.2.3 方陣的冪 16
1.2.4 矩陣的轉置 18
1.2.5 共軛矩陣 19
1.3 分塊矩陣 20
1.3.1 分塊矩陣的概念 20
1.3.2 分塊矩陣的運算 21
習題一 24
第2章 方陣的逆陣與方陣的行列式 26
2.1 方陣的逆陣 26
2.1.1 逆矩陣的概念 26
2.1.2 逆矩陣的性質 27
2.2 行列式的定義 29
2.2.1 二階與三階行列式 29
2.2.2 全排列與逆序數 31
2.2.3 n階行列式的定義 33
2.3 行列式的性質 37
2.4 行列式按行列展開的法則 45
2.5 伴隨矩陣與逆矩陣的計算 50
習題二 55
第3章 矩陣的初等變換 59
3.1 初等變換與矩陣的秩 59
3.1.1 矩陣的初等變換 59
3.1.2 矩陣的等價 59
3.1.3 利用初等變換將矩陣化為標準形 61
3.1.4 矩陣的秩 63
3.2 初等矩陣 65
3.2.1 初等矩陣 65
3.2.2 求逆矩陣的初等變換法 68
3.3 行列式觀點下矩陣秩的定義 69
習題三 71
第4章 線性方程組的消元解法與解的判定 73
4.1　將(A b)化為行階梯矩陣——方程組解的判定 74
4.2　將(A b)化為行最簡形矩陣——方程組的求解 76
習題四 81
第5章 向量 83
5.1 向量的概念及運算 83
5.1.1 n維向量的概念 83
5.1.2 向量的線性運算 84
5.2 向量的線性組合與線性表示 86
5.2.1 向量的線性組合與線性表示 86
5.2.2 向量組間的線性表示 88
5.2.3 初等變換與向量組的等價 89
5.3 向量組的線性相關與線性無關 91
5.3.1 線性相關性概念 91
5.3.2 線性相關性的判定 92
5.4 向量組的秩 96
5.4.1 極大線性無關向量組 96
5.4.2 向量組的秩 96
5.5 n維向量空間 99
5.5.1 向量空間與子空間 99
5.5.2 向量空間的基與維數 99
5.6 正交矩陣 100
5.6.1 內積及其性質 100
5.6.2 向量的長度與性質 100
5.6.3 正交向量組 101
5.6.4 規范正交基及其求法 102
5.6.5 正交矩陣與正交變換 103
習題五 103
第6章 線性方程組解的結構 106
6.1 齊次線性方程組解的結構 106
6.1.1 齊次線性方程組解的性質 106
6.1.2 基礎解系的求法 107
6.1.3 解空間及其維數 109
6.2　非齊次線性方程組解的結構 110
6.2.1 非齊次線性方程組解的性質 110
6.2.2 非齊次線性方程組通解的求法 111
習題六 114
第7章 特征值與特征向量 116
7.1 矩陣的特征值與特征向量 116
7.1.1 特征值和特征向量的概念 116
7.1.2 特征值和特征向量的計算 117
7.1.3 特征值和特征向量的性質 121
7.2 相似對角化 122
7.2.1 相似矩陣 122
7.2.2 相似對角化 123
7.3 實對稱矩陣的相似對角化 127
7.3.1 實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質 127
7.3.2 實對稱矩陣的對角化 128
習題七 132
第8章 二次型及其標準形 136
8.1 二次型 136
8.1.1 二次型的概念 136
8.1.2 二次型的標準形與矩陣的合同對角化 138
8.2 用配方法化二次型為標準形 142
8.2.1 用配方法化二次型為標準形 142
8.2.2 用初等變換化二次型為標準形 144
8.3 正定二次型 145
習題八 148
第9章 線性空間與線性變換 151
9.1 線性空間的定義與性質 151
9.1.1 線性空間的定義 151
9.1.2 線性空間的性質 151
9.1.3 線性空間的子空間 152
9.2 維數、基與坐標 153
9.2.1 線性空間的基與維數 153
9.2.2 線性空間的同構 153
9.3 基變換與坐標變換 155
9.3.1 基變換公式與過渡矩陣 155
9.3.2 坐標變換公式 155
9.4 線性變換 158
9.4.1 線性變換 158
9.4.2 線性變換的性質 158
9.5 線性變換的矩陣表示 160
9.5.1 線性變換的標準矩陣 160
9.5.2 線性變換在給定基下的矩陣 161
9.5.3 線性變換與其矩陣的關系 161
9.5.4 線性變換在不同基下的矩陣 162
習題九 164
習題答案 166
測試題 177
測試題答案 189

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