前 言

高等數學是我國高等教育中一門重要的基礎課，是絕大部分理工科專業的必修課。與初等數學相比，高等數學的理論更加抽象，推理更加嚴密，初學者往往感到難以理解，不能很好地把握學習的重點和突破點，缺乏分析問題和解決問題的思想和方法，無法靈活運用所學知識。基于這種現狀，為了幫助學生擺脫學習困擾，更好地學習高等數學這門課程，我們編寫了本書。

本書與中國水利水電出版社出版，李愛芹、胡雷、尹金生主編的《高等數學》相配套。內容按章節編排，每節包含知識點分析、典例解析、習題解答三個部分，部分知識重點和難點提供了學習視頻；每章開頭是知識結構圖、學習目標，最后配有單元練習題；每冊后面附有期末模擬題。

 知識結構圖：展示本章主要知識點及彼此間的內在聯系，旨在讓學生更好地掌握學科基本知識結構，對各章節關系有整體的認識。

 視頻資源：針對部分重點和難點精心錄制了微課，掃描二維碼即可觀看。

 學習目標：明確每章具體的學習任務和學習要求，使學生能夠知道重點和難點，有的放矢；其中使用的動詞“掌握”“理解”“會”表示要求較高，“了解”要求相對較低。

 知識點分析：梳理每節的知識點，簡單明了，重點突出，對教材內容做了概括總結，并適當進行了知識的綜合和延伸。

 典例解析：精心選取典型例題對思想和方法進行剖析、點撥，力求使學生在牢固掌握基礎知識和技能的基礎上，能夠把握問題的實質和規律，做到舉一反三，靈活運用；范例選取注重代表性、示范性，注重數學與實際應用相結合，注重對教材的內容做適當的擴展和延伸，是教師上習題課和學生自學的極佳資料。

 習題解答：對配套教材中的課后習題和每章的復習題做了詳細分析和解答，旨在引導學生先獨立思考，自己做題，然后通過比較習題解答，對問題有更透徹的理解。

 單元練習題：每章后面配有單元練習A和B。其中單元練習A強調重點，選取的題目注重考查本章必須要掌握的知識點；單元練習B強調綜合性，以開拓思路，選取的題目有部分考研題，難度比單元練習A稍大。

 期末模擬題：每冊后面都附有一套期末模擬題，供學生自測。

參加本書編寫及視頻錄制的有：李文婧（第3、4、5章；第1、6章及下冊微課）、胡雷（第6、8章；第5章微課）、劉菲菲（第1、9、10章；第2、4章微課）、廉立芳（第2、7、11章；第3、4章微課）、王曉明、孫光輝。全書由李文婧和尹金生統稿。本書的編寫參考和借鑒了許多國內外相關資料，得到了山東交通學院各級領導和同事的支持和幫助，另外中國水利水電出版社的相關人員為本書出版付出了辛勤的勞動，在此謹表示衷心的感謝！

本書汲取了多年來高等數學教學改革和教學實踐的成果，融入了編者多年來的教學經驗，但由于編寫水平和時間有限，書中難免存在不足，敬請讀者批評指正！

編 者

2022年2月

目 錄
前言

第1章 函數與極限 1
知識結構圖 1
本章學習目標 1
1.1 函數 2
1.1.1 知識點分析 2
1.1.2 典例解析 4
1.1.3 習題解答 7
1.2 數列的極限 10
1.2.1 知識點分析 10
1.2.2 典例解析 11
1.2.3 習題解答 12
1.3 函數的極限 14
1.3.1 知識點分析 14
1.3.2 典例解析 15
1.3.3 習題解答 16
1.4 無窮小與無窮大 18
1.4.1 知識點分析 18
1.4.2 典例解析 19
1.4.3 習題解答 20
1.5 極限的運算法則 21
1.5.1 知識點分析 21
1.5.2 典例解析 22
1.5.3 習題解答 24
1.6 極限存在準則 兩個重要極限 27
1.6.1 知識點分析 27
1.6.2 典例解析 28
1.6.3 習題解答 29
1.7 無窮小的比較 32
1.7.1 知識點分析 32
1.7.2 典例解析 33
1.7.3 習題解答 35
1.8 函數的連續性與間斷點 37
1.8.1 知識點分析 37
1.8.2 典例解析 38
1.8.3 習題解答 40
1.9 閉區間上連續函數的性質 43
1.9.1 知識點分析 43
1.9.2 典例解析 43
1.9.3 習題解答 44
復習題1解答 45
單元練習A 49
單元練習B 50
單元練習A答案 51
單元練習B答案 52
第2章 導數與微分 54
知識結構圖 54
本章學習目標 55
2.1 導數的概念 55
2.1.1 知識點分析 55
2.1.2 典例解析 56
2.1.3 習題解答 58
2.2 函數的求導法則 59
2.2.1 知識點分析 59
2.2.2 典例解析 60
2.2.3 習題解答 62
2.3 高階導數 65
2.3.1 知識點分析 65
2.3.2 典例解析 66
2.3.3 習題解答 68
2.4 隱函數及由參數方程所確定的
函數的導數 70
2.4.1 知識點分析 70
2.4.2 典例解析 70
2.4.3 習題解答 72
2.5 函數的微分 75
2.5.1 知識點分析 75
2.5.2 典例解析 76
2.5.3 習題解答 77
復習題2解答 78
單元練習A 83
單元練習B 84
單元練習A答案 86
單元練習B答案 87
第3章 微分中值定理與導數的應用 89
知識結構圖 89
本章學習目標 89
3.1 微分中值定理 90
3.1.1 知識點分析 90
3.1.2 典例解析 91
3.1.3 習題解答 92
3.2 洛必達（L’Hospital）法則 95
3.2.1 知識點分析 95
3.2.2 典例解析 95
3.2.3 習題解答 97
3.3 泰勒公式 99
3.3.1 知識點分析 99
3.3.2 典例解析 100
3.3.3 習題解答 101
3.4 函數的單調性與極值 103
3.4.1 知識點分析 103
3.4.2 典例解析 104
3.4.3 習題解答 105
3.5 函數的最大值與最小值及其
應用 108
3.5.1 知識點分析 108
3.5.2 典例解析 108
3.5.3 習題解答 110
3.6 函數的凹凸性與拐點 函數圖
形的描繪 111
3.6.1 知識點分析 111
3.6.2 典例解析 112
3.6.3 習題解答 113
3.7 曲率 116
3.7.1 知識點分析 116
3.7.2 典例解析 116
3.7.3 習題解答 117
復習題3解答 118
單元練習A 123
單元練習B 124
單元練習A答案 125
單元練習B答案 126
第4章 不定積分 130
知識結構圖 130
本章學習目標 130
4.1 不定積分的概念與性質 131
4.1.1 知識點分析 131
4.1.2 典例解析 132
4.1.3 習題解答 134
4.2 換元積分法 136
4.2.1 知識點分析 136
4.2.2 典例解析 138
4.2.3 習題解答 142
4.3 分部積分法 148
4.3.1 知識點分析 148
4.3.2 典例解析 149
4.3.3 習題解答 151
4.4 有理函數的積分 154
4.4.1 知識點分析 154
4.4.2 典例解析 156
4.4.3 習題解答 157
復習題4解答 161
單元練習A 171
單元練習B 172
單元練習A答案 172
單元練習B答案 173
第5章 定積分及其應用 177
知識結構圖 177
本章學習目標 177
5.1 定積分的概念與性質 178
5.1.1 知識點分析 178
5.1.2 典例解析 179
5.1.3 習題解答 181
5.2 微積分基本公式 185
5.2.1 知識點分析 185
5.2.2 典例解析 185
5.2.3 習題解答 187
5.3 定積分的換元法和分部積分法 190
5.3.1 知識點分析 190
5.3.2 典例解析 191
5.3.3 習題解答 193
5.4 反常積分 199
5.4.1 知識點分析 199
5.4.2 典例解析 201
5.4.3 習題解答 201
5.5 定積分的元素法及其在幾何學
上的應用 203
5.5.1 知識點分析 203
5.5.2 典例解析 205
5.5.3 習題解答 209
5.6 定積分的元素法在物理學
上的應用 218
5.6.1 知識點分析 218
5.6.2 典例解析 218
5.6.3 習題解答 219
復習題5解答 221
單元練習A 229
單元練習B 229
單元練習A答案 231
單元練習B答案 232
第6章 常微分方程 236
知識結構圖 236
本章學習目標 237
6.1 微分方程的基本概念 237
6.1.1 知識點分析 237
6.1.2 典例解析 237
6.1.3 習題解答 238
6.2 可分離變量的微分方程 239
6.2.1 知識點分析 239
6.2.2 典例解析 239
6.2.3 習題解答 240
6.3 一階線性微分方程 243
6.3.1 知識點分析 243
6.3.2 典例解析 243
6.3.3 習題解答 245
6.4 可降階的二階微分方程 246
6.4.1 知識點分析 246
6.4.2 典例解析 247
6.4.3 習題解答 248
6.5 二階常系數齊次線性微分方程 250
6.5.1 知識點分析 250
6.5.2 典例解析 251
6.5.3 習題解答 251
6.6 二階常系數非齊次線性微分
方程 253
6.6.1 知識點分析 253
6.6.2 典例解析 254
6.6.3 習題解答 255
復習題6解答 258
單元練習A 260
單元練習B 261
單元練習A解答 262
單元練習B解答 263
高等數學（1）期末模擬題 267
高等數學（1）期末模擬題答案 269
參考文獻 271

1. 實用運籌學 [主編　邢育紅　于晉臣]
2. 電子技術（第二版） [主編 覃愛娜 李飛]
3. 勞動爭議處理實務 [主編 王秀卿 羅靜]
4. 工程數學 [主編 郭立娟 王海]
5. 語音識別理論與實踐 [主編　莫宏偉]
6. 武術基礎教程 [主編 李代勇 謝志民]
7. 計算機網絡實訓教程 [主編 張浩軍 趙玉娟]
8. 畫法幾何與機械制圖習題集（多學時） [主編 趙軍]
9. 電工電子技術基礎 [主編 劉 軍 楊國龍 劉天成]
10. MySQL數據庫項目式教程 [陳亞峰]
11. 機械設計基礎（第二版） [主編 田亞平 李愛姣]
12. 畫法幾何與機械制圖 [主編 趙軍]
13. C語言程序設計習題與實驗指導（第二版） [主編 甄增榮 張賓]
14. C語言程序設計（第二版） [主編 甄增榮 田云霞]
15. Unity3D虛擬現實應用開發實踐 [主 編 劉龍]
16. 智能化技術基礎（第三版） [鄧文達　李禮]
17. 面向對象程序設計 [主編 張勇 張平華 趙小龍]
18. 網絡營銷 [主編 夏薇薇 劉婷 尚潔]
19. 電視節目策劃與制作（微課版） [主　編　黃滴滴]
20. 數據庫技術與應用實踐教程（SQL Server 2019） [主 編 嚴暉 周肆清]
21. 大學應用數學 [主編 郭立娟]
22. 工業機器人拆裝與調試 [主編 胡月霞 向艷芳 朱奇]
23. 功能材料制備與表征實驗指導書 [龔偉平 趙軍峰 梅海娟 等編著]
24. 信號與系統（第二版） [主編 張宇]
25. 信息技術基礎 [主編 唐倩 邵銳]
26. Python 語言程序設計實踐指導 [主編　張雙獅]
27. Photoshop 圖形圖像項目化教程 [主編 胡斌斌 黎婭 蘇大椿]
28. 體育舞蹈教程 [主編 劉偉 陳志明 曾明]
29. 線性代數導學篇 [主編 史昱]
30. 信息技術基礎實訓與習題指導（Windows7+Office2016） [主編 周金容 唐天國]