一、數(shù)學(xué)的發(fā)展

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)，簡單來說，就是研究數(shù)和形的科學(xué)。

數(shù)學(xué)是一門古老而又年輕的科學(xué)。早在公元前兩千多年，人們由于貿(mào)易、測量和航海的需要，整理了更遠(yuǎn)古的計算和測量方法，從而形成了數(shù)學(xué)。這一時期，數(shù)學(xué)知識還是片面的、零碎的，沒有形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)捏w系，稱為數(shù)學(xué)的萌芽時期。

從公元前6世紀(jì)開始，古希臘的數(shù)學(xué)就已獲得獨立的地位，而數(shù)學(xué)作為一門完整的科學(xué)，是在公元前3世紀(jì)，由歐幾里得的不朽之作《幾何原本》確立的。公元前6世紀(jì)到17世紀(jì)中葉，稱為初等數(shù)學(xué)時期；17世紀(jì)，笛卡爾的解析幾何與微積分的誕生成為變量數(shù)學(xué)的標(biāo)志；18世紀(jì)，由于物理學(xué)、天文學(xué)和數(shù)學(xué)本身的發(fā)展，出現(xiàn)許多新的數(shù)學(xué)分支，如級數(shù)、微分方程、微分幾何、復(fù)變函數(shù)、實變函數(shù)和泛函分析等，因此18世紀(jì)是分析的世紀(jì)；19世紀(jì)至今，產(chǎn)生了非歐幾何，康托爾創(chuàng)立了集合論，由此產(chǎn)生了拓?fù)鋵W(xué)、概率統(tǒng)計、運(yùn)籌學(xué)、控制論、系統(tǒng)分析、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)和生物數(shù)學(xué)等。

二、微積分概述

在中學(xué)階段學(xué)習(xí)的主要是初等數(shù)學(xué)（包括初等代數(shù)和初等幾何），其研究對象基本是不變的量；微積分則是以函數(shù)（變量）、連續(xù)函數(shù)為研究對象，極限是其最基本的研究方法，微分與積分為其主要內(nèi)容。

微積分對于高等院校經(jīng)管類學(xué)生來說是一門面廣、量大而影響深遠(yuǎn)的重要基礎(chǔ)課程，概念難度偏大、理論性強(qiáng)、抽象性強(qiáng)。通過對微積分的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)當(dāng)掌握微積分的基本概念、基本理論，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、抽象思維能力、邏輯思維能力、自學(xué)能力和創(chuàng)新能力，提高數(shù)學(xué)修養(yǎng)和數(shù)學(xué)素質(zhì)，為以后學(xué)習(xí)專業(yè)技術(shù)知識和從事科學(xué)技術(shù)研究打下堅實的基礎(chǔ)。

微積分誕生于300多年以前，被科學(xué)家譽(yù)為人類思想的偉大成果之一。幾百年來，微積分一直被各個大學(xué)作為重要的基礎(chǔ)課來讓學(xué)生學(xué)習(xí)，原因就是它非常有用，而且對于培養(yǎng)思維能力來說有積極作用。微積分來源于實踐，也可應(yīng)用于實踐，在工程技術(shù)乃至社會科學(xué)領(lǐng)域都有非常重要的應(yīng)用。下面舉幾個典型的例子。比如，在火箭的發(fā)射、升空、飛行過程中，它做的是變速運(yùn)動，那么怎樣定義火箭運(yùn)動的瞬時速度？怎樣計算瞬時速度？比如，對一條任意形狀的光滑曲線，怎樣求曲線上某一點處的切線？比如，一門大炮，它的炮身和地面的夾角直接影響到炮彈的射程，則它和地面的夾角為多少時炮彈的射程最遠(yuǎn)？再比如，對一塊邊緣不規(guī)則的田地，怎樣求出這塊田地的面積？這些問題都可以用微積分來解決。實際上，這四個例子對應(yīng)著歷史上著名的四大類問題，即速度問題、切線問題、最大最小值問題、求面積和體積問題，它們是微積分產(chǎn)生的源泉。

微積分是微分學(xué)和積分學(xué)的統(tǒng)稱，它的萌芽、誕生與發(fā)展經(jīng)歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法，這是微積分的先驅(qū)。而我國莊子的《天下篇》中也有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的極限思想；公元263年，劉徽為《九章算術(shù)》作注時提出了“割圓術(shù)”，用正多邊形來逼近圓周，這是極限思想的成功運(yùn)用。

積分概念是從求某些面積、體積和弧長的問題中產(chǎn)生的。古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德在《拋物線求積法》中用窮竭法求出拋物線弓形的面積，他沒有用極限方法，而是用“有限”開工的窮竭法，這成為積分學(xué)的萌芽。

微分是從對曲線作切線的問題和求函數(shù)的極大值、極小值問題中產(chǎn)生的。微分方法的第一個真正值得注意的先驅(qū)工作起源于1629年費馬陳述的概念。費馬給出了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院的巴羅教授又給出了求切線的方法，進(jìn)一步推動了微分學(xué)概念的產(chǎn)生。在前人工作的基礎(chǔ)上，牛頓和萊布尼茨在17世紀(jì)下半葉各自獨立創(chuàng)立了微積分。

1665年5月20日，在牛頓手寫的一份文件中開始有“流數(shù)術(shù)”的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標(biāo)志。牛頓關(guān)于微積分的著作很多寫于1665—1676年，但這些著作發(fā)表很遲。他完整地提出微分與積分是一對互逆運(yùn)算，并且給出換算的公式，就是后來著名的牛頓－萊布尼茨公式。

如果將整個數(shù)學(xué)比作一棵大樹，那么初等數(shù)學(xué)是樹的根，名目繁多的數(shù)學(xué)分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。從17世紀(jì)開始，隨著社會的進(jìn)步和生產(chǎn)力的發(fā)展，以及航海、天文、礦山建設(shè)等領(lǐng)域許多課題要解決，數(shù)學(xué)也開始研究變化著的量，由此數(shù)學(xué)進(jìn)入了“變量數(shù)學(xué)”時代，即微積分不斷完善成為一門學(xué)科。整個17世紀(jì)有數(shù)十位科學(xué)家為微積分的創(chuàng)立進(jìn)行了開創(chuàng)性的研究，但使微積分成為數(shù)學(xué)的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。

微積分的誕生一般分為三個階段：極限概念階段、求積的無限小方法階段、積分與微分的互逆關(guān)系階段。最后一個階段是由牛頓和萊布尼茨完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數(shù)學(xué)家（可追溯到古希臘的阿基米德）都做出了各自的貢獻(xiàn)。追溯到公元前3世紀(jì)，在古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德（公元前287—公元前212年）的著作《圓的測量》和《論球與柱》中就已含有微積分的萌芽，他在拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線的體積問題的研究中就隱含著近代積分的思想。開普勒在1615年《測量酒桶體積的新科學(xué)》一書中，就把曲線看成邊數(shù)無限增大的直線形，并提出圓的面積就是無窮多的三角形面積之和，這些都可視為極限思想的佳作。意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利在1635年出版的《連續(xù)不可分幾何》一書中把曲線看成是無限多條線段（不可分量）拼成的。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在中國早有萌芽，甚至是古希臘數(shù)學(xué)不能比擬的。公元前7世紀(jì)老莊哲學(xué)中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀(jì)《墨經(jīng)》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內(nèi)）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽在公元263年首創(chuàng)了割圓術(shù)求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3.1416，他的極限思想和無窮小方法是世界古代極限思想的深刻體現(xiàn)。

微積分思想雖然可追溯至古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀(jì)下半葉，在開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎(chǔ)上產(chǎn)生和發(fā)展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀(jì)祖暅求球體積的方法中都可找到。北宋大科學(xué)家沈括在《夢溪筆談》中獨創(chuàng)了“隙積術(shù)”“會圓術(shù)”和“棋局都數(shù)術(shù)”，開始了對高階等差級數(shù)求和的研究。

上述科學(xué)家都為17世紀(jì)微積分成為一門科學(xué)奠定了基礎(chǔ)，解析幾何也為微積分的創(chuàng)立奠定了基礎(chǔ)。16世紀(jì)以后歐洲封建社會日趨沒落，資本主義逐漸興起，為科學(xué)技術(shù)的發(fā)展開創(chuàng)了美好前景。到了17世紀(jì)，許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家都為解決上述四大類問題做了大量的研究工作。笛卡爾1637年發(fā)表了《科學(xué)中的正確運(yùn)用理性和追求真理的方法論》（簡稱《方法論》），創(chuàng)立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結(jié)成代數(shù)形式，而且可以通過代數(shù)變換來發(fā)現(xiàn)、證明幾何性質(zhì)。他不僅用坐標(biāo)表示點的位置，而且把點的坐標(biāo)運(yùn)用到曲線上。他認(rèn)為點移動成線，所以方程不僅可表示已知數(shù)與未知數(shù)之間的關(guān)系、變量與變量之間的關(guān)系，還可以表示曲線。此外，笛卡爾還打破了表示體積、面積及長度的量之間不可進(jìn)行加減的束縛。至此幾何圖形的各種量可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)量來進(jìn)行表示，使得幾何與代數(shù)在數(shù)量上統(tǒng)一了起來。就這樣笛卡爾把相互對立的“數(shù)”與“形”統(tǒng)一起來，從而實現(xiàn)了數(shù)學(xué)史上的一次飛躍，為微積分的成熟提供了必要條件，開拓了變量數(shù)學(xué)的廣闊空間。

三、關(guān)于本教材

本教材充分考慮高等教育大眾化階段的現(xiàn)實狀況，以教育部非數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課教學(xué)指導(dǎo)分委員會制定的新的“經(jīng)濟(jì)管理類本科數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)基本要求”為依據(jù)，結(jié)合經(jīng)管類研究生入學(xué)考試的數(shù)學(xué)大綱進(jìn)行編寫。參加本教材編寫的人員都是多年擔(dān)任經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)實際教學(xué)的教師，他們都有較高的理論造詣和較豐富的教學(xué)經(jīng)驗。本教材以培養(yǎng)應(yīng)用型人才為目標(biāo)，將數(shù)學(xué)基本知識與經(jīng)濟(jì)、管理學(xué)科中的實際應(yīng)用有機(jī)結(jié)合起來，主要有以下幾個特點：

（1）注重體現(xiàn)應(yīng)用型本科院校特色。根據(jù)經(jīng)濟(jì)類和管理類各專業(yè)對數(shù)學(xué)知識的需求，本著“輕理論、重應(yīng)用”的原則制定內(nèi)容體系。

（2）注重理論聯(lián)系實際。在內(nèi)容安排上由淺入深，與中學(xué)數(shù)學(xué)進(jìn)行了合理的銜接。在引入概念時，介紹了概念產(chǎn)生的實際背景，采用提出問題—討論問題—解決問題的思路，逐步展開知識點，使學(xué)生能夠從實際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣；另外在微分學(xué)與積分學(xué)章節(jié)中，引入了經(jīng)濟(jì)、管理類的實際應(yīng)用例題和課后練習(xí)題，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)工具解決實際問題的意識和能力。

（3）本教材結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯嚴(yán)密、語言準(zhǔn)確、解析詳細(xì)，易于學(xué)生閱讀。由于弱化了抽象理論，突出了理論應(yīng)用和方法介紹，內(nèi)容深度廣度適當(dāng)，貼近教學(xué)實際，便于教師教與學(xué)生學(xué)。本教材內(nèi)容分為教程篇（上、下冊）和導(dǎo)學(xué)篇（上、下冊），包括函數(shù)的極限、一元函數(shù)微積分學(xué)、微分方程、多元函數(shù)微積分學(xué)、無窮級數(shù)、數(shù)學(xué)實驗、微積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用等內(nèi)容。

（4）在教程篇每一章的結(jié)束部分，都增加了數(shù)學(xué)拓展，其中包含數(shù)學(xué)建模和有杰出貢獻(xiàn)的數(shù)學(xué)家的生平簡介。通過數(shù)學(xué)建模，可以使學(xué)生認(rèn)識到所學(xué)的數(shù)學(xué)知識在經(jīng)濟(jì)、管理學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，同時能夠利用所學(xué)知識對相應(yīng)問題進(jìn)行簡單求解。通過介紹數(shù)學(xué)家的生平和事跡，可以使學(xué)生真正了解數(shù)學(xué)發(fā)展的基本過程，而且能讓學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家追求真理、維護(hù)真理的堅韌不拔的科學(xué)精神。在導(dǎo)學(xué)篇每章的后面都配有單元練習(xí)，供學(xué)生學(xué)完一章后復(fù)習(xí)、總結(jié)、提高之用。其中的題目主要考查本章必須掌握的知識點，并強(qiáng)調(diào)知識點的綜合運(yùn)用，注重培養(yǎng)學(xué)生的解題思路和解題方法，便于學(xué)生自測。

（5）與中學(xué)數(shù)學(xué)銜接緊密。附錄Ⅰ中對常用基本初等函數(shù)的定義域和圖像進(jìn)行全面總結(jié)，附錄Ⅱ?qū)ΤＲ姷娜�角函�?shù)公式進(jìn)行了全面總結(jié)，并在附錄Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ中分別介紹了二階行列式、三階行列式、一些常用的平面曲線及其圖形、各種類型的不定積分公式，供學(xué)生查閱參考。

在編寫過程中，我們借鑒同類院校經(jīng)典教材的優(yōu)點，注重教材改革中的一些成功案例，使得本教材更適合當(dāng)代大學(xué)生人才培養(yǎng)和教學(xué)實踐的需要。

本教材為了更好地實現(xiàn)與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接，對反三角函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行了詳細(xì)描述；為保證教學(xué)內(nèi)容更加系統(tǒng)，將微分方程調(diào)整到定積分之后；根據(jù)現(xiàn)有微積分課程課時要求，對空間解析幾何的內(nèi)容進(jìn)行了適當(dāng)精簡合并，將其添加到多元函數(shù)微分學(xué)的第一節(jié)，同時增加了大量經(jīng)濟(jì)、管理數(shù)學(xué)模型的例題和習(xí)題。

參加教程篇編寫的有曹海軍（第1—5章），周玲麗（第6、7、10章），張鑫（第8、9章）。教程篇由曹海軍、周玲麗統(tǒng)稿及定稿。參加導(dǎo)學(xué)篇編寫的有王海棠（第1、2、9、10章），馬彥君（第3、4章），李麗（第5、6章），于學(xué)光（第7、8章）。導(dǎo)學(xué)篇由王海棠統(tǒng)稿及定稿。在編寫過程中，我們參考和借鑒了許多國內(nèi)外有關(guān)文獻(xiàn)資料，并得到了很多同行的幫助和指導(dǎo)，在此對所有關(guān)心支持本教材編寫的教師表示衷心感謝。

限于編寫水平，書中難免有錯誤和不足之處，敬請廣大讀者批評指正。

編 者

2022年3月

第1章 函數(shù) 1
1.1 預(yù)備知識 1
1.1.1 鄰域 1
1.1.2 函數(shù)的概念 2
1.1.3 函數(shù)的幾種特性 5
1.1.4 反函數(shù)與復(fù)合函數(shù) 7
1.1.5 初等函數(shù) 9
1.2 函數(shù)關(guān)系的建立與常用經(jīng)濟(jì)函數(shù) 13
1.2.1 函數(shù)關(guān)系的建立 13
1.2.2 常見經(jīng)濟(jì)函數(shù) 14
1.3 函數(shù)拓展 17
1.3.1 數(shù)學(xué)建模—數(shù)學(xué)擬合法 17
1.3.2 數(shù)學(xué)家簡介—劉徽 18
第2章 極限與連續(xù) 21
2.1 數(shù)列的極限 21
2.1.1 引例 21
2.1.2 數(shù)列極限的概念 22
2.1.3 收斂數(shù)列的性質(zhì) 26
2.2 函數(shù)的極限 28
2.2.1 引例 28
2.2.2 自變量趨于無窮大時函數(shù)的極限 29
2.2.3 自變量趨于有限值時函數(shù)的極限 31
2.2.4 函數(shù)極限的性質(zhì) 35
2.3 無窮小與無窮大 35
2.3.1 無窮小 35
2.3.2 無窮大 37
2.3.3 無窮小與無窮大的關(guān)系 39
2.3.4 無窮小與無窮大的運(yùn)算法則 39
2.4 極限的運(yùn)算法則與兩個重要極限 40
2.4.1 極限的四則運(yùn)算法則 41
2.4.2 復(fù)合函數(shù)極限的運(yùn)算法則 45
2.4.3 夾逼準(zhǔn)則 46
2.4.4 單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則 49
2.4.5 在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 51
2.5 無窮小的比較 52
2.6 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點 56
2.6.1 函數(shù)的連續(xù)性 56
2.6.2 函數(shù)的間斷點 58
2.6.3 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則 61
2.6.4 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 63
2.7 數(shù)學(xué)拓展 65
2.7.1 數(shù)學(xué)建模—貼現(xiàn)問題 65
2.7.2 數(shù)學(xué)家簡介—柯西 66
第3章 導(dǎo)數(shù)與微分 69
3.1 導(dǎo)數(shù)的概念 69
3.1.1 引例 69
3.1.2 導(dǎo)數(shù) 71
3.1.3 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 74
3.1.4 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 75
3.2 函數(shù)的微分 76
3.2.1 微分的概念 76
3.2.2 微分的幾何意義 78
*3.2.3 微分在近似計算中的應(yīng)用 79
3.3 導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算 80
3.3.1 函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則與微分法則 80
3.3.2 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 83
3.3.3　復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 84
3.3.4 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與微分 86
3.3.5 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 88
3.3.6 對數(shù)求導(dǎo)法 89
*3.3.7 由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 91
3.4 高階導(dǎo)數(shù) 91
3.5 邊際與彈性 95
3.5.1 邊際分析 96
3.5.2 彈性分析 99
3.6 數(shù)學(xué)拓展 102
3.6.1 數(shù)學(xué)建模—邊際收益遞減規(guī)律 102
3.6.2 數(shù)學(xué)家簡介—牛頓 103
第4章 一元函數(shù)微分的應(yīng)用 105
4.1 微分中值定理 105
4.1.1 羅爾（Rolle）中值定理 105
4.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值定理 107
*4.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 109
4.2 洛必達(dá)法則 110
4.2.1 型和 未定式 110
4.2.2 型和 未定式 113
4.2.3 型未定式 114
4.3 函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值 115
4.3.1 函數(shù)的單調(diào)性 116
4.3.2 函數(shù)的極值 119
4.3.3 函數(shù)的最大值與最小值 122
4.3.4 經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題舉例 124
4.4 函數(shù)的凹凸性與拐點 函數(shù)圖形的描繪 126
4.4.1 函數(shù)的凹凸性 127
4.4.2 函數(shù)圖形的描繪 129
4.5 數(shù)學(xué)拓展 132
4.5.1 數(shù)學(xué)建模—最優(yōu)批量問題（庫存問題） 132
4.5.2 數(shù)學(xué)家簡介—拉格朗日 133
第5章 一元函數(shù)積分學(xué) 135
5.1 定積分的概念與性質(zhì) 135
5.1.1 引例 135
5.1.2 定積分的定義 138
5.1.3 定積分的幾何意義 140
5.1.4 定積分的性質(zhì) 141
5.2 微積分基本公式 144
5.2.1 積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù) 145
5.2.2 牛頓—萊布尼茨公式 147
5.3 不定積分的概念與性質(zhì) 148
5.3.1 不定積分的概念 148
5.3.2 不定積分的幾何意義 150
5.3.3 不定積分的性質(zhì) 150
5.3.4 基本積分公式 151
5.4 積分的換元法 153
5.4.1 第一類換元積分法（湊微分法） 154
5.4.2 第二類換元積分法 160
5.4.3 定積分的換元法 164
5.5 分部積分法 167
5.5.1 不定積分的分部積分法 167
5.5.2 定積分的分部積分法 170
5.6 反常積分 171
5.6.1 無窮限的反常積分 172
5.6.2 無界函數(shù)的反常積分 173
5.6.3 函數(shù) 175
5.7 定積分的幾何應(yīng)用與經(jīng)濟(jì)應(yīng)用 178
5.7.1 定積分的元素法 178
5.7.2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用—平面圖形的面積 179
5.7.3 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用—體積 182
5.7.4 由邊際函數(shù)求原函數(shù) 186
5.8 數(shù)學(xué)拓展 187
5.8.1 數(shù)學(xué)建模—已知貼現(xiàn)率求現(xiàn)金流量的貼現(xiàn)值 187
5.8.2 數(shù)學(xué)家簡介—萊布尼茨 189
附錄I 基本初等函數(shù)圖像及性質(zhì) 192
附錄II 常見三角函數(shù)公式 196
附錄III 二階和三階行列式簡介 198
附錄IV 幾種常見的曲線 201
附錄V 積分表 205

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30. 網(wǎng)絡(luò)規(guī)劃設(shè)計師備考一本通 [夏杰 編著]