前 言

人類社會的進步與數學這門基礎學科的廣泛應用是分不開的，尤其是現代社會，電子計算機的出現和普及使得數學的應用領域進一步拓寬，現代數學正成為科技發展的強大動力，同時也廣泛深入地滲透到了社會生活的各個領域。宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，幾乎無時無處不用到數學。

高等數學是由微積分學、代數學、幾何學以及它們之間的交叉內容所形成的基礎學科，是工科院校一門非常重要的基礎課。在現階段大學的大眾化教育中，學生的數學基礎參差不齊，面對高等數學高度抽象和邏輯嚴密的特點，普遍出現了“學不會，用不了”的尷尬局面。

本次教材編寫修訂針對大眾化教育階段出現的這種現實狀況，以教育部非數學專業數學基礎課教學指導委員會新制定的“工科類本科數學基礎課程教學基本要求”為依據，結合當下教育部調整教育機構工作的主要思路，引導部分地方本科高校以社會需求為導向轉型發展，本著“難度適宜，注重實用”的原則，確定了高等數學課程的內容框架和深度，以培養應用型人才為目標，將數學基本知識和實際應用有機地結合起來。“高等數學”這門課程不但為學生學習后續課程提供基礎保障，而且在培養提高學生的抽象思維能力、邏輯思維能力、綜合分析能力等方面具有非常重要的作用。

本教材主要特點如下：

（1）充分體現基礎應用型本科院校特色，根據工科各專業對數學知識的不同需求，本著“輕理論，重應用”的原則制定內容體系；在內容安排上由淺入深，循序漸進，與中學數學知識體系進行了科學合理的銜接。

（2）采用“發現問題－討論問題－解決問題”的科學思路，引入概念時注意概念產生的實際背景，逐步展開知識點，激發學習興趣，使學生思考問題能從實際出發，增強應用數學工具解決問題的意識和能力。

（3）例題和習題的選擇本著學以致用的原則，難易適度、層次分明，各節均配有實際應用型習題，而且每章后配有總復習題，強化訓練學生對本章知識點的綜合應用能力。

（4）每章最后選編一位有杰出貢獻的數學家的生平和事跡，讓學生從中認識數學發展的基本過程，特別是學習數學家堅韌不拔追求和維護真理的科學精神，體現“榜樣育人”的思想政治教學原則。

（5）本教材結構嚴謹、邏輯嚴密、語言準確、解析詳細，內容突出理論的應用和方法的介紹，弱化抽象理論的解釋，深度和廣度適當，貼近教學實際，既便于教師教也便于學生學。

（6）本教材上冊包括函數與極限、導數與微分、微分中值定理與導數的應用、不定積分、定積分及其應用、常微分方程6章，下冊包括空間解析幾何與向量代數、多元函數微分法及其應用、重積分、曲線積分與曲面積分、無窮級數5章。

（7）附錄Ⅰ匯總常見的三角函數公式，附錄Ⅱ簡單介紹二階和三階行列式，附錄Ⅲ列舉幾種常見的曲線，附錄Ⅳ積分表包含各種類型的不定積分結果，附錄Ⅴ為習題答案與提示，供學生查閱參考。

本教材的主要編寫修訂人員為尹金生、劉吉曉、劉菲菲、李文婧、李愛芹、陳艷艷、胡雷（按姓氏筆畫排序），具體分工如下：李文婧負責第1章至第4章，劉菲菲負責第5章和第6章，李愛芹負責第7章，陳艷艷負責第8章至第11章。

全書由尹金生、劉吉曉、胡雷審稿，由李愛芹統稿和定稿。在教材編寫過程中，編者參考借鑒了國內外相關文獻資料，采用黃玉娟和李愛芹主編版本的體系風格，同時得到諸多同事同行的幫助和指導，尤其是山東交通學院理學院各位領導和黃玉娟教授的鼎力支持，在此一并表示感謝。

限于編者水平，書中不足之處在所難免，懇請讀者批評指正。

編 者

2022年3月

前言

第1章 函數與極限 1
1.1 函數 1
1.1.1 函數的概念 1
1.1.2 函數的幾種特性 6
1.1.3 反函數與復合函數 8
1.1.4 初等函數 12
習題1.1 12
1.2 數列的極限 14
1.2.1 極限概念的引例 14
1.2.2 數列極限的定義 14
1.2.3 收斂數列的性質 17
習題1.2 19
1.3 函數的極限 20
1.3.1 自變量趨于無窮大時函數的
極限 20
1.3.2 自變量趨于有限值時函數的
極限 21
1.3.3 函數極限的性質 24
習題1.3 24
1.4 無窮小與無窮大 25
1.4.1 無窮小 25
1.4.2 無窮大 27
1.4.3 無窮小與無窮大的關系 28
習題1.4 28
1.5 極限的運算法則 29
1.5.1 極限的四則運算法則 29
1.5.2 復合函數極限的運算法則 33
習題1.5 34
1.6 極限存在準則 兩個重要極限 34
1.6.1 夾逼準則 35
1.6.2 單調有界收斂準則 37
習題1.6 39
1.7 無窮小的比較 40
習題1.7 43
1.8 函數的連續性與間斷點 44
1.8.1 函數的連續性 44
1.8.2 函數的間斷點 46
1.8.3 連續函數的運算法則 48
1.8.4 初等函數的連續性 49
習題1.8 52
1.9 閉區間上連續函數的性質 52
1.9.1 最大值與最小值定理及有
界性定理 53
1.9.2 零點定理與介值定理 54
習題1.9 55
復習題1 56
數學家簡介—劉徽 58
第2章 導數與微分 59
2.1 導數 59
2.1.1 引例 59
2.1.2 導數的概念 60
2.1.3 導數的幾何意義 64
2.1.4 函數的可導性與連續性的
關系 65
習題2.1 65
2.2 函數的求導法則 66
2.2.1 函數的和、差、積、商的
求導法則 66
2.2.2 復合函數的求導法則 68
2.2.3 反函數的求導法則 69
2.2.4 初等函數的導數 70
習題2.2 71
2.3 高階導數 72
2.3.1 高階導數的概念 72
2.3.2 高階導數的運算法則 75
習題2.3 76
2.4 隱函數及由參數方程所確定的
函數的導數 76
2.4.1 隱函數的導數 76
2.4.2 由參數方程所確定的函數的
導數 78
習題2.4 80
2.5 函數的微分 81
2.5.1 微分的概念 81
2.5.2 微分的幾何意義 83
2.5.3 基本初等函數的微分公式
與微分運算法則 84
2.5.4 微分在近似計算中的應用 86
習題2.5 87
復習題2 87
數學家簡介—祖沖之 89
第3章 微分中值定理與導數的應用 91
3.1 微分中值定理 91
3.1.1 羅爾（Rolle）定理 91
3.1.2 拉格朗日（Lagrange）中值
定理 92
*3.1.3 柯西（Cauchy）中值定理 94
習題3.1 95
3.2 洛必達（L’hospital）法則 95
3.2.1 型未定式 96
3.2.2 型未定式 97
3.2.3 其他類型未定式 98
習題3.2 99
*3.3 泰勒公式 100
3.3.1 泰勒（Taylor）中值定理 101
3.3.2 幾個重要初等函數的麥克
勞林公式 102
習題3.3 105
3.4 函數的單調性與極值 105
3.4.1 函數的單調性 105
3.4.2 函數的極值 109
習題3.4 112
3.5 函數的最大值與最小值及其
應用 112
習題3.5 116
3.6 曲線的凹凸性與拐點 函數
圖形的描繪 116
3.6.1 曲線的凹凸性與拐點 116
3.6.2 函數圖形的描繪 119
習題3.6 121
3.7 曲率 122
3.7.1 曲線的曲率 122
3.7.2 曲率圓與曲率半徑 126
習題3.7 127
復習題3 128
數學家簡介—楊輝 129
第4章 不定積分 131
4.1 不定積分的概念與性質 131
4.1.1 原函數與不定積分的概念 131
4.1.2 不定積分的幾何意義 134
4.1.3 不定積分的性質 134
4.1.4 基本積分公式 135
習題4.1 137
4.2 換元積分法 138
4.2.1 第一類換元積分法 138
4.2.2 第二類換元積分法 143
習題4.2 148
4.3 分部積分法 149
習題4.3 153
*4.4 有理函數的積分 153
4.4.1 有理函數的積分 154
4.4.2 三角函數有理式的積分 158
習題4.4 160
復習題4 160
數學家簡介—蘇步青 162
第5章 定積分及其應用 164
5.1 定積分的概念與性質 164
5.1.1 引例 164
5.1.2 定積分的定義 167
5.1.3 定積分的幾何意義 168
5.1.4 定積分的性質 169
習題5.1 171
5.2 微積分基本公式 172
5.2.1 積分上限的函數及其導數 173
5.2.2 牛頓－萊布尼茨公式 175
習題5.2 177
5.3 定積分的換元法和分部積分法 178
5.3.1 定積分的換元法 179
5.3.2 定積分的分部積分法 182
習題5.3 184
5.4 反常積分 186
5.4.1 無窮限的反常積分 186
5.4.2 無界函數的反常積分 188
*5.4.3 函數 190
習題5.4 192
5.5 定積分的元素法及其在幾何學
上的應用 193
5.5.1 定積分的元素法 193
5.5.2 定積分在幾何學上的應用
——平面圖形的面積 194
5.5.3 定積分在幾何學上的應用
——體積與弧長 201
習題5.5 207
5.6 定積分的元素法在物理學上的
應用 208
5.6.1 變力沿直線所做的功 208
5.6.2 水的側壓力 210
習題5.6 211
復習題5 212
數學家簡介—萊布尼茨 214
第6章 常微分方程 217
6.1 微分方程的基本概念 217
6.1.1 引例 217
6.1.2 微分方程的概念 218
習題6.1 220
6.2 可分離變量的微分方程 220
6.2.1 可分離變量的微分方程 221
6.2.2 可化為可分離變量微分
方程的微分方程 223
習題6.2 227
6.3 一階線性微分方程 228
習題6.3 232
*6.4 可降階的二階微分方程 233
6.4.1 型的微分方程 233
6.4.2 型的微分方程 235
6.4.3 型的微分方程 236
習題6.4 239
6.5 二階常系數齊次線性微分方程 239
6.5.1 二階常系數齊次線性微分
方程解的結構 240
6.5.2 二階常系數齊次線性微分
方程的解法 241
習題6.5 245
6.6 二階常系數非齊次線性微分
方程 245
習題6.6 253
復習題6 253
數學家簡介——華羅庚 254
參考文獻 256
附錄Ⅰ 常見三角函數公式 258
附錄Ⅱ 二階和三階行列式簡介 260
附錄Ⅲ 幾種常見曲線 263
附錄Ⅳ 積分表 267
附錄Ⅴ 習題答案與提示 277

1. 實用運籌學 [主編　邢育紅　于晉臣]
2. 電子技術（第二版） [主編 覃愛娜 李飛]
3. 勞動爭議處理實務 [主編 王秀卿 羅靜]
4. 工程數學 [主編 郭立娟 王海]
5. 語音識別理論與實踐 [主編　莫宏偉]
6. 武術基礎教程 [主編 李代勇 謝志民]
7. 計算機網絡實訓教程 [主編 張浩軍 趙玉娟]
8. 畫法幾何與機械制圖習題集（多學時） [主編 趙軍]
9. 電工電子技術基礎 [主編 劉 軍 楊國龍 劉天成]
10. MySQL數據庫項目式教程 [陳亞峰]
11. 機械設計基礎（第二版） [主編 田亞平 李愛姣]
12. 畫法幾何與機械制圖 [主編 趙軍]
13. C語言程序設計習題與實驗指導（第二版） [主編 甄增榮 張賓]
14. C語言程序設計（第二版） [主編 甄增榮 田云霞]
15. Unity3D虛擬現實應用開發實踐 [主 編 劉龍]
16. 智能化技術基礎（第三版） [鄧文達　李禮]
17. 面向對象程序設計 [主編 張勇 張平華 趙小龍]
18. 網絡營銷 [主編 夏薇薇 劉婷 尚潔]
19. 電視節目策劃與制作（微課版） [主　編　黃滴滴]
20. 數據庫技術與應用實踐教程（SQL Server 2019） [主 編 嚴暉 周肆清]
21. 大學應用數學 [主編 郭立娟]
22. 工業機器人拆裝與調試 [主編 胡月霞 向艷芳 朱奇]
23. 功能材料制備與表征實驗指導書 [龔偉平 趙軍峰 梅海娟 等編著]
24. 信號與系統（第二版） [主編 張宇]
25. 信息技術基礎 [主編 唐倩 邵銳]
26. Python 語言程序設計實踐指導 [主編　張雙獅]
27. Photoshop 圖形圖像項目化教程 [主編 胡斌斌 黎婭 蘇大椿]
28. 體育舞蹈教程 [主編 劉偉 陳志明 曾明]
29. 線性代數導學篇 [主編 史昱]
30. 信息技術基礎實訓與習題指導（Windows7+Office2016） [主編 周金容 唐天國]