一、數學的發展

數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的科學，簡單來說，就是研究數和形的科學。

數學是一門古老而又年輕的科學。早在公元前兩千多年，人們由于貿易、測量和航海的需要，整理了更遠古的計算和測量方法，從而形成了數學。這一時期，數學知識還是片面的、零碎的，沒有形成嚴謹的體系，稱為數學的萌芽時期。

從公元前6世紀開始，古希臘的數學就已獲得獨立的地位，而數學作為一門完整的科學，是在公元前3世紀，由歐幾里得的不朽之作《幾何原本》確立的。公元前6世紀到17世紀中葉，稱為初等數學時期；17世紀，笛卡爾的解析幾何與微積分的誕生成為變量數學的標志；18世紀，由于物理學、天文學和數學本身的發展，出現許多新的數學分支，如級數、微分方程、微分幾何、復變函數、實變函數和泛函分析等，因此18世紀是分析的世紀；19世紀至今，產生了非歐幾何，康托爾創立了集合論，由此產生了拓撲學、概率統計、運籌學、控制論、系統分析、經濟數學和生物數學等。

二、微積分概述

在中學階段學習的主要是初等數學（包括初等代數和初等幾何），其研究對象基本是不變的量；微積分則是以函數（變量）、連續函數為研究對象，極限是其最基本的研究方法，微分與積分為其主要內容。

微積分對于高等院校經管類學生來說是一門面廣、量大而影響深遠的重要基礎課程，概念難度偏大、理論性強、抽象性強。通過對微積分的學習，學生應當掌握微積分的基本概念、基本理論，培養數學運算能力、抽象思維能力、邏輯思維能力、自學能力和創新能力，提高數學修養和數學素質，為以后學習專業技術知識和從事科學技術研究打下堅實的基礎。

微積分誕生于300多年以前，被科學家譽為人類思想的偉大成果之一。幾百年來，微積分一直被各個大學作為重要的基礎課來讓學生學習，原因就是它非常有用，而且對于培養思維能力來說有積極作用。微積分來源于實踐，也可應用于實踐，在工程技術乃至社會科學領域都有非常重要的應用。下面舉幾個典型的例子。比如，在火箭的發射、升空、飛行過程中，它做的是變速運動，那么怎樣定義火箭運動的瞬時速度？怎樣計算瞬時速度？比如，對一條任意形狀的光滑曲線，怎樣求曲線上某一點處的切線？比如，一門大炮，它的炮身和地面的夾角直接影響到炮彈的射程，則它和地面的夾角為多少時炮彈的射程最遠？再比如，對一塊邊緣不規則的田地，怎樣求出這塊田地的面積？這些問題都可以用微積分來解決。實際上，這四個例子對應著歷史上著名的四大類問題，即速度問題、切線問題、最大最小值問題、求面積和體積問題，它們是微積分產生的源泉。

微積分是微分學和積分學的統稱，它的萌芽、誕生與發展經歷了漫長的時期。早在古希臘時期，歐多克斯提出了窮竭法，這是微積分的先驅。而我國莊子的《天下篇》中也有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”的極限思想；公元263年，劉徽為《九章算術》作注時提出了“割圓術”，用正多邊形來逼近圓周，這是極限思想的成功運用。

積分概念是從求某些面積、體積和弧長的問題中產生的。古希臘數學家阿基米德在《拋物線求積法》中用窮竭法求出拋物線弓形的面積，他沒有用極限方法，而是用“有限”開工的窮竭法，這成為積分學的萌芽。

微分是從對曲線作切線的問題和求函數的極大值、極小值問題中產生的。微分方法的第一個真正值得注意的先驅工作起源于1629年費馬陳述的概念。費馬給出了如何確定極大值和極小值的方法。其后英國劍橋大學三一學院的巴羅教授又給出了求切線的方法，進一步推動了微分學概念的產生。在前人工作的基礎上，牛頓和萊布尼茨在17世紀下半葉各自獨立創立了微積分。

1665年5月20日，在牛頓手寫的一份文件中開始有“流數術”的記載，微積分的誕生不妨以這一天為標志。牛頓關于微積分的著作很多寫于1665—1676年，但這些著作發表很遲。他完整地提出微分與積分是一對互逆運算，并且給出換算的公式，就是后來著名的牛頓－萊布尼茨公式。

如果將整個數學比作一棵大樹，那么初等數學是樹的根，名目繁多的數學分支是樹枝，而樹干的主要部分就是微積分。從17世紀開始，隨著社會的進步和生產力的發展，以及航海、天文、礦山建設等領域許多課題要解決，數學也開始研究變化著的量，由此數學進入了“變量數學”時代，即微積分不斷完善成為一門學科。整個17世紀有數十位科學家為微積分的創立進行了開創性的研究，但使微積分成為數學的一個重要分支的還是牛頓和萊布尼茨。

微積分的誕生一般分為三個階段：極限概念階段、求積的無限小方法階段、積分與微分的互逆關系階段。最后一個階段是由牛頓和萊布尼茨完成的。前兩階段的工作，歐洲的大批數學家（可追溯到古希臘的阿基米德）都做出了各自的貢獻。追溯到公元前3世紀，在古希臘的數學家、力學家阿基米德（公元前287—公元前212年）的著作《圓的測量》和《論球與柱》中就已含有微積分的萌芽，他在拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉雙曲線的體積問題的研究中就隱含著近代積分的思想。開普勒在1615年《測量酒桶體積的新科學》一書中，就把曲線看成邊數無限增大的直線形，并提出圓的面積就是無窮多的三角形面積之和，這些都可視為極限思想的佳作。意大利數學家卡瓦列利在1635年出版的《連續不可分幾何》一書中把曲線看成是無限多條線段（不可分量）拼成的。對于這方面的工作，古代中國毫不遜色于西方，微積分思想在中國早有萌芽，甚至是古希臘數學不能比擬的。公元前7世紀老莊哲學中就有無限可分性和極限思想；公元前4世紀《墨經》中有了有窮、無窮、無限小（最小無內）、無窮大（最大無外）的定義和極限、瞬時等概念。劉徽在公元263年首創了割圓術求圓面積和方錐體積，求得圓周率約等于3.1416，他的極限思想和無窮小方法是世界古代極限思想的深刻體現。

微積分思想雖然可追溯至古希臘，但它的概念和法則卻是16世紀下半葉，在開普勒、卡瓦列利等求積的不可分量思想和方法基礎上產生和發展起來的。而這些思想和方法從劉徽對圓錐、圓臺、圓柱的體積公式的證明到公元5世紀祖暅求球體積的方法中都可找到。北宋大科學家沈括在《夢溪筆談》中獨創了“隙積術”“會圓術”和“棋局都數術”，開始了對高階等差級數求和的研究。

上述科學家都為17世紀微積分成為一門科學奠定了基礎，解析幾何也為微積分的創立奠定了基礎。16世紀以后歐洲封建社會日趨沒落，資本主義逐漸興起，為科學技術的發展開創了美好前景。到了17世紀，許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述四大類問題做了大量的研究工作。笛卡爾1637年發表了《科學中的正確運用理性和追求真理的方法論》（簡稱《方法論》），創立了解析幾何，表明了幾何問題不僅可以歸結成代數形式，而且可以通過代數變換來發現、證明幾何性質。他不僅用坐標表示點的位置，而且把點的坐標運用到曲線上。他認為點移動成線，所以方程不僅可表示已知數與未知數之間的關系、變量與變量之間的關系，還可以表示曲線。此外，笛卡爾還打破了表示體積、面積及長度的量之間不可進行加減的束縛。至此幾何圖形的各種量可以轉化為代數量來進行表示，使得幾何與代數在數和量上統一了起來。就這樣笛卡爾把相互對立的“數”與“形”統一起來，從而實現了數學史上的一次飛躍，為微積分的成熟提供了必要條件，開拓了變量數學的廣闊空間。

三、關于本教材

本教材充分考慮高等教育大眾化階段的現實狀況，以教育部非數學專業數學基礎課教學指導分委員會制定的新的“經濟管理類本科數學基礎課程教學基本要求”為依據，結合經管類研究生入學考試的數學大綱進行編寫。參加本教材編寫的人員都是多年擔任經濟數學實際教學的教師，他們都有較高的理論造詣和豐富的教學經驗。本教材以培養應用型人才為目標，將數學基本知識與經濟、管理學科中的實際應用有機結合起來，主要有以下幾個特點：

（1）注重體現應用型本科院校特色。根據經濟類和管理類各專業對數學知識的需求，本著“輕理論、重應用”的原則制定內容體系。

（2）注重理論聯系實際。在內容安排上由淺入深，與中學數學進行了合理的銜接。在引入概念時，介紹了概念產生的實際背景，采用提出問題—討論問題—解決問題的思路，逐步展開知識點，使學生能夠從實際問題出發，激發學習興趣；另外在微分學與積分學章節中，引入了經濟、管理類的實際應用例題和課后練習題，以培養學生應用數學工具解決實際問題的意識和能力。

（3）本教材結構嚴謹、邏輯嚴密、語言準確、解析詳細，易于學生閱讀。由于弱化了抽象理論，突出了理論應用和方法介紹，內容深度廣度適當，貼近教學實際，便于教師教與學生學。本教材內容分為教程篇（上、下冊）和導學篇（上、下冊），包括函數的極限、一元函數微積分學、微分方程、多元函數微積分學、無窮級數、數學實驗、微積分在經濟中的應用等內容。

（4）在教程篇每一章的結束部分，都增加了數學拓展，其中包含數學建模和有杰出貢獻的數學家的生平簡介。通過數學建模，可以使學生認識到所學的數學知識在經濟、管理學中有著廣泛的應用，同時能夠利用所學知識對相應問題進行簡單求解。通過介紹數學家的生平和事跡，可以使學生真正了解數學發展的基本過程，而且能讓學生學習數學家追求真理、維護真理的堅韌不拔的科學精神。在導學篇每章的后面都配有單元練習，供學生學完一章后復習、總結、提高之用。其中的題目主要考查本章必須掌握的知識點，并強調知識點的綜合運用，注重培養學生的解題思路和解題方法，便于學生自測。

（5）與中學數學銜接緊密。附錄Ⅰ中對常用基本初等函數的定義域和圖像進行全面總結，附錄Ⅱ對常見的三角函數公式進行了全面總結，并在附錄Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ中分別介紹了二階行列式、三階行列式、一些常用的平面曲線及其圖形、各種類型的不定積分公式，供學生查閱參考。

在編寫過程中，我們借鑒同類院校經典教材的優點，注重教材改革中的一些成功案例，使得本教材更適合當代大學生人才培養和教學實踐的需要。

本教材為了更好地實現與中學數學內容的銜接，對反三角函數的相關內容進行了詳細描述；為保證教學內容更加系統，將微分方程調整到定積分之后；根據現有微積分課程課時要求，對空間解析幾何的內容進行了適當精簡合并，將其添加到多元函數微分學的第一節，同時增加了大量經濟、管理數學模型的例題和習題。

參加教程篇編寫的有曹海軍（第1—5章），周玲麗（第6、7、10章），張鑫（第8、9章）。教程篇由曹海軍、周玲麗統稿及定稿。參加導學篇編寫的有王海棠（第1、2、9、10章），馬彥君（第3、4章），李麗（第5、6章），于學光（第7、8章）。導學篇由王海棠統稿及定稿。在編寫過程中，我們參考和借鑒了許多國內外有關文獻資料，并得到了很多同行的幫助和指導，在此對所有關心支持本教材編寫的教師表示衷心感謝。

限于編寫水平，書中難免有錯誤和不足之處，敬請廣大讀者批評指正。

編 者

2022年3月

第6章 微分方程與差分方程 1
6.1 微分方程的基本概念 2
6.1.1 知識點分析 2
6.1.2 典例解析 2
6.1.3 習題 3
6.1.4 習題詳解 3
6.2 一階微分方程 3
6.2.1 知識點分析 4
6.2.2 典例解析 5
6.2.3 習題 6
6.2.4 習題詳解 7
6.3 可降階的二階微分方程 11
6.3.1 知識點分析 11
6.3.2 典例解析 11
6.3.3 習題 12
6.3.4 習題詳解 13
6.4 二階常系數線性微分方程 15
6.4.1 知識點分析 15
6.4.2 典例解析 16
6.4.3 習題 17
6.4.4 習題詳解 18
6.5 差分方程 20
6.5.1 知識點分析 20
6.5.2 典例解析 21
6.5.3 習題 22
6.5.4 習題詳解 22
6.6 微分方程和差分方程的簡單經濟應用 24
6.6.1 知識點分析 24
6.6.2 典例解析 24
6.6.3 習題 26
6.6.4 習題詳解 26
本章練習A 28
本章練習B 29
本章練習A答案 31
本章練習B答案 34
第7章 多元函數微分學 38
7.1 空間解析幾何簡介 39
7.1.1 知識點分析 39
7.1.2 典例解析 40
7.1.3 習題 41
7.1.4 習題詳解 41
7.2 多元函數的基本概念 41
7.2.1 知識點分析 41
7.2.2 典例解析 42
7.2.3 習題 44
7.2.4 習題詳解 45
7.3 偏導數 46
7.3.1 知識點分析 46
7.3.2 典例解析 47
7.3.3 習題 49
7.3.4 習題詳解 50
7.4 全微分 51
7.4.1 知識點分析 51
7.4.2 典例解析 52
7.4.3 習題 54
7.4.4 習題詳解 55
7.5 多元復合函數的求導法則 56
7.5.1 知識點分析 56
7.5.2 典例解析 56
7.5.3 習題 59
7.5.4 習題詳解 59
7.6 隱函數求導法 61
7.6.1 知識點分析 61
7.6.2 典例解析 62
7.6.3 習題 64
7.6.4 習題詳解 65
7.7 多元函數的極值及其應用 67
7.7.1 知識點分析 67
7.7.2 典例解析 68
7.7.3 習題 70
7.7.4 習題詳解 71
本章練習A 74
本章練習B 76
本章練習A答案 78
本章練習B答案 81
第8章 二重積分 85
8.1 二重積分的概念與性質 86
8.1.1 知識點分析 86
8.1.2 典例解析 87
8.1.3 習題 88
8.1.4 習題詳解 89
8.2 二重積分的計算 89
8.2.1 知識點分析 89
8.2.2 典例解析 92
8.2.3 習題 98
8.2.4 習題詳解 98
本章練習A 105
本章練習B 107
本章練習A答案 108
本章練習B答案 111
第9章 無窮級數 117
9.1 常數項級數的概念和性質 118
9.1.1 知識點分析 118
9.1.2 典例解析 120
9.1.3 習題 121
9.1.4 習題詳解 122
9.2 正項級數及其審斂法 124
9.2.1 知識點分析 124
9.2.2 典例解析 125
9.2.3 習題 126
9.2.4 習題詳解 127
9.3 任意項級數的絕對收斂與條件收斂 130
9.3.1 知識點分析 130
9.3.2 典例解析 131
9.3.3 習題 133
9.3.4 習題詳解 133
9.4 冪級數 135
9.4.1 知識點分析 135
9.4.2 典例解析 137
9.4.3 習題 138
9.4.4 習題詳解 139
9.5 函數展開成冪級數 142
9.5.1 知識點分析 142
9.5.2 典例解析 144
9.5.3 習題 144
9.5.4 習題詳解 145
本章練習A 146
本章練習B 148
本章練習A答案 149
本章練習B答案 152
第10章 微積分在經濟中的應用 156
下冊自測試題 166

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4. 實用運籌學 [主編　邢育紅　于晉臣]
5. 三峽梯級電站水資源決策支持系統研究與開發 [姚華明 潘紅忠 湯正]
6. 海南黎族民俗文化鑒賞 [龐國華　著]
7. 石墨烯在太赫茲及中紅外頻段電磁器件設計中的應用 [李艷秀 莊華偉 著]
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9. 辦公自動化高級應用 [陳萍 朱曉玉]
10. 信息處理技術員考試32小時通關 [薛大龍]
11. 電子產品設計案例教程（微課版）—基于嘉立創EDA（專業版） [王靜 莫志宏 陳學昌 丁紅]
12. C程序設計實踐教程 [劉衛國]
13. C程序設計（慕課版） [劉衛國]
14. Web技術開發教程（基于.NET開源MVC框架） [王合闖 韓紅玲 王青正 陳海蕊]
15. 商務英語翻譯教程（筆譯）（第四版） [主編 王軍平]
16. 智慧零售技術與應用 [洪旭 著]
17. 建設工程法規實務 [主編 余瀅]
18. 商務秘書理論與實務（第三版） [主編 張同欽]
19. 程序設計基礎實踐教程（C/C++語言版） [張桂芬 葛麗娜]
20. C++案例項目精講 [主編 楊國興]
21. 勞動爭議處理實務 [主編 王秀卿 羅靜]
22. 工程數學 [主編 郭立娟 王海]
23. 語音識別理論與實踐 [主編　莫宏偉]
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29. SwiftUI完全開發 [李智威 著]
30. 網絡規劃設計師備考一本通 [夏杰 編著]