本書基于重慶工商職業學院“互聯網+”教學改革的成果，以李先明教授主編的《微積分基礎》和劉彥輝副教授主編的《應用數學基礎》為基礎編寫，內容主要以一元函數微積分為基礎，為學生的文化傳承和后續學習打下基礎。

充分運用現代教育思想（形象思維、微元法思想、符號使用技巧等），重點突出知識的應用，引入數學建模思想及數學實驗內容，為工程類與經濟類的學生搭建學習高等數學的公共平臺，成為學生掌握數學工具、構建自己的數學知識體系的良師益友。

該書結合內容的展示，提供多角度觀察事物的方法，使讀者從不同方向、不同層面、不同角度認識數學，觀察事物，掌握數學原理、方法、應用數學知識的例證（原型）。

本書是在重慶工商職業學院大力發展“互聯網+”教育改革的背景下編寫而成的。2015年底，習近平總書記在貴州考察時提出了“供給側結構改革”這一理念后，“供給側改革”成為全國各行各業的熱點和工作方向，教育行業也不例外。2016年民進中央提交了一份《關于深化教育供給側結構性改革的提案》。隨后，新華社、人民網等主流媒體都刊發了關于教育供給側改革的專題文章。這些聲音反映出了當前高等教育面臨的主要問題是“學生和企業想要的教育我們沒有，我們提供的教育他們覺得太單一。教育產品的提供與需求脫節。”

同樣地，在高職的數學課程中也存在著類似的問題。高等數學在高職的大多數專業中，既是一門重要的文化素質通識課，又是一門必不可少的專業工具課，對學生的后續學習和數學思維的培養起著重要的作用。但是，由于近年來高職學生數學基礎下滑、數學課程改革相對滯后，造成了學生不想學、專業責任教師不想開、數學教師不愿教的局面。這種局面與十八大以后國家對教育改革“公平、效率”的要求嚴重背離。從供需矛盾來分析的話，主要原因有以下兩個方面：

（1）需求側（學情）。一方面，隨著數學和相關學科的發展，數學在各行各業中扮演著更加重要的角色，學生和專業責任教師也希望能夠用相對容易的方法掌握盡可能多的數學知識。同時，隨著“互聯網+”浪潮的到來，學生對課程的內容和形式提出了更高的要求。

但是另一方面，當前的高職學生由于錄取分數的降低，數學基礎相對以前更為薄弱，學生對數學普遍有畏難情緒，不愿意學習和使用數學。專業責任教師和學校管理部門，根據學生的學習情況，也大多不愿開設數學課程，所以數學課程的學時被一減再減。

（2）供給側（教情）。從教學目標上看，數學的培養目標與培養應用型人才還有差距，還普遍存在著重理論輕應用的現象；從教學內容上來看，數學課程還是主要以學科知識完整為主，沒有充分體現“必須、夠用、適度”的原則；從教學方法上看，老師大多畢業于數學專業，應用性視角不足，多以講授證明和運算為主；從教學模式上看，主要采用自然班大班教學，與學生交流不足，難以做到“因材施教”；從評價方式上看，還是采用了一考定成績的紙質考試，形式單一，難以調動學生的積極性。

總體來說，高職數學課程面臨著三大主要問題：提高教學質量、給學生更豐富的選擇和學生實際獲得知識能力的提高。因此，在當前學情短時間內不可能改善的情況下，如何通過對數學課程“供給側”的改革，讓學生既具有一定的科學素養，又具有專業學習必須的應用能力，是擺在高職數學教育者面前的一個重要課題。

本教材內容主要以一元函數微積分為基礎，為學生的文化傳承和后續學習打下基礎，根據專業特色由學生自選數學應用能力拓展模塊，培養學生的應用水平和自學能力。其中的應用拓展模塊，由老師根據學生的學習興趣制定相關內容，通過學生小組探索完成。本教材是在重慶工商職業學院李先明教授和劉彥輝副教授以往教材的基礎上進行編寫的。劉彥輝副教授負責思想原則確立、內容設計、統稿和定稿工作。參加本書主要編寫工作的有重慶工商職業學院的張靜講師、姚素芬講師、趙潤峰講師、時耀敏講師和四川工商職業技術學院的代雪蓮講師。本書內容主要包括函數的極限、函數的微分、函數的積分、常微分方程初步、無窮級數、線性代數、概率論、統計初步、MATLAB初步和數學實驗。每章后面配有基本練習題，要求讀者獨立完成，題目答案可通過簡單演算獲得，也可通過數學實驗的方法獲得。另外，難度較大的題目已放入數學實驗教學內容之中，習題難度按大專以上水平設計。

我們認為，高等職業教育已進入內涵建設階段，數學課程教學改革任重道遠，希望憑借此書吸引更多的同仁參與數學課程教育研究，推動我國高等職業教育更快地發展。

編 者

2017年10月

前言

第1章 無窮的意義——極限與連續 1
1.1 極限的幾何特征 1
1.2 極限的四則運算 4
1.2.1 四則運算 4
1.2.2 應用舉例 4
1.3 極限數學計算方法 5
1.3.1 型未定式極限的計算 5
1.3.2 型未定式極限的計算 6
1.3.3 兩個重要極限 6
1.3.4 無窮大量與無窮小量 8
1.4 函數的連續性 9
1.5 極限的應用 11
習題1 12
第2章 切線與增量——導數與微分 15
2.1 函數導數的概念 17
2.1.1 曲線的切線 17
2.1.2 導數的概念 18
2.1.3 導數的基本公式 19
2.2 函數導數的數學計算方法 20
2.2.1 四則運算法則 20
2.2.2 復合函數求導法 21
2.2.3 隱函數求導法 22
2.2.4 函數的高階導數 23
2.3 函數微分及計算方法 24
2.3.1 微分的概念 24
2.3.2 求函數的微分 24
2.4 函數微分的應用 25
2.4.1 泰勒公式及近似計算 25
2.4.2 中值定理與洛必達法則 27
2.4.3 初等函數形態研究 30
2.4.4 函數的最大（小）值 33
習題2 36
第3章 無限求和——函數的積分 39
3.1 不定積分的概念 39
3.1.1 原函數與不定積分 39
3.1.2 基本積分公式 41
3.1.3 公式應用舉例 42
3.2 不定積分的數學計算 42
3.2.1 換元積分法 43
3.2.2 分部積分法 47
3.2.3 綜合舉例 49
3.3 定積分的概念 50
3.3.1 曲邊梯形的面積與定積分 50
3.3.2 微積分基本定理 53
3.3.3 公式應用舉例 55
3.4 定積分的數學計算 56
3.4.1 換元積分法 56
3.4.2 分部積分法 58
3.4.3 綜合舉例 58
3.5 定積分的應用 59
3.5.1 幾何應用 59
3.5.2 物理應用 66
3.5.3 經濟應用 67
習題3 69
第4章 收斂與發散——無窮級數 72
4.1 數項級數 72
4.1.1 數項級數的基本概念 72
4.1.2 求數項級數的和 72
4.1.3 數項級數的性質 73
4.1.4 正項級數收斂判別法 73
4.1.5 任意項級數 75
4.2 函數項級數 76
4.2.1 基本概念 76
4.2.2 冪級數 76
4.2.3 泰勒級數 77
4.2.4 傅立葉級數 80
4.2.5 傅氏變換與拉氏變換 84
習題4 86
第5章 種群增長的秘密——微分方程 88
5.1 常微分方程的基本概念 88
5.2 可分離變量的微分方程 89
5.3 一階線性微分方程 90
5.4 二階常系數線性微分方程 92
5.5 常微分方程應用 95
習題5 97
第6章 N維空間拓展——線性代數 99
6.1 矩陣的概念 99
6.1.1 矩陣的定義 99
6.1.2 常見的特殊矩陣 99
6.2 矩陣的運算 101
6.2.1 矩陣相等 101
6.2.2 矩陣的線性運算 101
6.2.3 矩陣的乘法 102
6.2.4 矩陣的轉置 104
6.3 矩陣的初等行變換 105
6.3.1 矩陣的初等行變換 105
6.3.2 矩陣的秩及求法 105
6.4 方陣的逆矩陣 107
6.4.1 逆矩陣的定義 107
6.4.2 逆矩陣的初等行變換求法 108
6.5 線性方程組的基本概念 109
6.5.1 基本概念 109
6.5.2 線性方程組解的判定 110
6.6 高斯消元法 113
6.7 線性方程組的綜合應用 116
習題6 119
第7章 探索博弈中的奧秘——概率論 122
7.1 隨機事件 123
7.1.1 隨機事件 123
7.1.2 事件間的關系與運算 123
7.2 隨機事件的概率 124
7.2.1 隨機事件概率的定義 124
7.2.2 概率的加法公式 125
7.2.3 乘法公式及條件概率 126
7.2.4 全概率與貝葉斯公式 127
7.3 貝努利概型 130
7.3.1 事件的獨立性 130
7.3.2 貝努利概型 131
7.4 離散型隨機變量 131
7.4.1 離散型隨機變量的概率分布與分布
函數 131
7.4.2 幾種重要的離散型隨機變量 133
7.5 連續型隨機變量的概率密度 134
7.5.1 連續型隨機變量的概念與分布函數 135
7.5.2 幾個常用的連續型隨機變量的分布 136
7.6 隨機變量的數學期望 138
7.6.1 離散型隨機變量的數學期望 138
7.6.2 連續型隨機變量的數學期望 139
7.6.3 數學期望的性質及矩 139
7.7 隨機變量的方差 140
7.7.1 方差的概念 140
7.7.2 方差的性質 140
7.7.3 常見分布的期望與方差 140
習題7 141
第8章 數據會說話——數理統計初步 143
8.1 總體、樣本、統計量 143
8.1.1 總體與樣本 143
8.1.2 統計量 143
8.2 期望與方差的點估計 145
8.2.1 矩估計 145
8.2.2 極大似然估計 146
8.3 期望與方差的區間估計 147
8.4 最小二乘估計 148
8.5 幾種常見的假設檢驗法則 149
8.5.1 假設檢驗的幾個步驟 149
8.5.2 U檢驗法 150
8.5.3 T檢驗法 150
8.5.4 檢驗法 152
習題8 154
第9章 MATLAB簡介 157
9.1 初識MATLAB 157
9.2 MATLAB集成環境 162
9.2.1 集成環境 162
9.2.2 主窗口 162
9.2.3 工作空間窗口 163
9.2.4 MATLAB幫助系統 164
9.3 MATLAB基本知識 164
9.3.1 基本運算符及表達式 164
9.3.2 MATLAB變量命名規則 165
9.3.3 數值計算結果的顯示格式 165
9.3.4 MATLAB指令行中的標點符號 166
9.3.5 MATLAB指令窗的常用控制指令 166
9.3.6 數學函數 167
第10章 數學實驗 168
實驗一 MATLAB在極限中的應用 168
實驗二 MATLAB在導數中的應用 170
實驗三 MATLAB在積分中的應用 173
實驗四 MATLAB在線性代數中的應用 177
一、數值矩陣的生成 177
二、符號矩陣的生成 178
三、特殊矩陣的生成 178
四、矩陣運算 180
五、矩陣分解 182
六、線性方程組的求解 184
附錄 187
附表1 泊松分布數值表 187
附表2 標準正態分布函數值表 190
附表3 T分布的雙側臨界值表 191
附表4 T分布的單側臨界值表 192
附表5 分布表 193
附表6 F分布表 195

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