前 言

高等數學課程是理工科、經濟類各專業開設的基礎理論課程（專科院校開設兩學期，本科院校開設三至四個學期）。學生掌握的程度，直接或間接影響后繼課程的學習，直接或間接影響培養人才的質量。

在實際教學過程中，我們發現教材所要求的內容與后繼課程所要求的數學知識相差甚遠，理論與實際脫節，學生學習目的不明確，很難實現從以教師為中心的學習方式到以學生為中心的學習方式的轉化，很難達到培養創新人才的要求。

為了適應現代教育教學形勢，教師必須在教學思想、學習理論、技術更新、教學設計、教學策略等方面形成自己的特色。應重視課程重構，既要注重“教”的一面，又要注重“學”的一面，還要注重“創造”的一面。既要考慮專業學生的技能培養要求，又要考慮學生的實際承受力，還要讓學生感受到學習的意義和喜悅。在我三十多年的學習和教學過程中，課程始終是“專家的課程”，教材始終是“公共框架”。數學作為一種文化、學習其他知識的平臺、對學習者實施邏輯思維訓練的載體、開展數學美學教育等，其作用是顯然的。教師應根據自己對專業學生的技能要求和自己的學習、學科和教學研究成果，把“專家課程”、“公共框架”轉換為“教師的課程”，形成特色鮮明、個性化強的教育教學空間和實踐情景。

高等數學課程改革與實踐。展示的是著者三十多年高等數學課程教學改革的實踐歷程和最終成果，提出了基于高職高專高等數學課程的設計思想、內容設置、教學方法與手段，以及教學評價方法等，對參與高等數學教學和研究的同仁來說極具參考價值。

微積分學教學活動分析。展示的是微積分學教學活動中如何實現教與學的目的方法。著者提出，要實現教與學的目的，教師應根據學生的心理特征和微積分學的認識結構，創造教學情境、充分運用對比方法及現代創造技法等教學方法，使學生在活動中提高自我控制，共同參與到問題性情境中去，達到對同一認識結構的共識。

函數極限理論教學方法研究。著者直觀形象或表象地來思考極限理論，通過類比差異來反映客體的表面共性或相似性，從而揭示極限理論的本質，避免了在極限概念的處理上的過分形式化，使在講解微積分之前的“大塊頭”極限論變成“小塊頭”極限論。

概率統計的教學方法及原則。展示的是在目前教學面臨的形勢下從教學方法的角度闡明提高概率統計教學質量的方法，即抓好基本概念、技能和技巧的教學；適當介紹概率統計的廣泛應用，激發學生對該門課程的學習興趣，變學生的依賴性為學生的自覺性和能動性，提升學生的就業水平，實現概率統計課程教學的目的。

高等數學應用教學案例。展示了著者在高等數學教學中使用的案例。有些學生包括老師經常提出一個問題：“學習高等數學有何用？”那么，請你學學這些案例，也許會使你的眼界更加開闊。

數學實驗教學改革與實踐。傳統的方法解數學題可能使你厭倦，來試試用數學軟件解數學題，也許你從此就喜歡上了數學這門課程，也許你在今后的工作中無意間就為老板解決了一個難題。這也是我們要在高等數學課程中增加數學實驗內容的根本原因。

微分學中的微分幾何研究。在微分學中，幾何學的內容幾乎成了解釋數學概念的最重要的內容，因此如何教學生掌握微分學中的幾何學內容就顯得十分重要。正確認識曲線、曲面，展示運用微分知識去研究曲線、曲面形態的方法是著者的出發點。

格林、高斯公式應用研究。通過對兩個公式的拓展研究，說明高等數學課程不僅是學習專業課程的基礎，而且自身具有廣闊的應用空間和豐富的內涵。

矩陣的初等行變換及其應用。線性代數最核心的內容是什么，那就是矩陣的初等行變換。求矩陣的秩、求矩陣的逆矩陣、求解線性方程組等，哪一樣都離不開它。教會學生使用好矩陣的初等行變換是教師教學的重點。

基于AHP和FCE的高等數學實驗教學質量綜合評價。傳統的高等數學采用的是理論式教學，幾乎沒有實驗教學，隨著教學改革的不斷深入，教學工作者逐漸意識到數學的理論和實踐是密不可分的，只有把兩者結合起來，才能真正實現用數學理論解決實際問題。每年的全國大學生數學建模競賽就是數學理論與實踐的結合。如何評價高等數學實驗教學質量是作者的本意。

據我所知，到目前為止，還沒有一本關于研究數學教學方法的書，年輕的教師只能靠自己的實踐慢慢成熟起來，以致數學課程改革難以推進。我想，作為講授數學課程三十多年的老教師，總該給年輕教師留點什么。于是，我開始整理自己的教學教案、教學筆記，修訂自己已發表過的論文、課題報告等，用以集結成本書。

本書就高等數學課程設計、如何實現教與學的目的、重點內容的教學方法、難點內容的處理方法、知識領域拓展，以及實驗教學質量評價等進行了全面的研究和分析，無論對新教師還是老教師，都極具使用和參考價值。希望該書的出版能引領高等數學課程改革向更深層次推進。

李先明

2011年12月

第1章 高等數學課程改革與實踐 1
1.1 課程改革三階段 1
1.2 課程設計思想 3
1.3 教學方法與手段 5
1.4 教學隊伍建設 6
1.5 實踐條件 7
1.6 教學效果分析 8
1.7 課程特色 9
第2章 微積分學教學活動分析 10
2.1 教學情境的產生和形成途徑 10
2.2 誘導性教學 16
2.3 教學活動中對比方法的充分運用 16
2.3.1 幾種極限的比較 16
2.3.2 極限與連續的比較 19
2.3.3 導數與微分的比較 20
2.3.4 不定積分與定積分的比較 20
2.3.5 定積分、重積分、曲線積分、曲面積分的比較 21
2.3.6 計算方法之間的比較 23
2.4 教學活動中現代創造技能的充分運用 25
2.5 微分學中的辯證法 30
2.5.1 馬克思關于導函數概念的辯證唯物主義分析 30
2.5.2 用符號 代替 的必要性和重要性 32
2.5.3 代數方法向微分方法的轉化和微分的概念 33
第3章 概率統計的教學方法及原則 36
3.1 概率部分的教學原則 37
3.1.1 抓好概念比較教學 37
3.1.2 抓好解題技能和技巧方面的教學 37
3.2 數理統計部分的教學原則 48
3.2.1 數理統計有關概念 48
3.2.2 準確理解重要概念 49
3.2.3 參數的區間估計和假設檢驗兩種方法的應用 50
3.3 培養學生學習概率統計興趣的途徑 51
3.3.1 在失效條件下——系統的統計特征 51
3.3.2 隨機變量可能值（事件的可能結果）的不肯定性的度量——熵（entropy） 52
3.3.3 連續檢查決策系統——統計模型 54
3.4 典型例題分析 59
第4章 函數極限理論教學方法研究 63
4.1 極限概念及性質的教學方法 63
4.2 函數極限的性質 66
4.3 整變量函數極限的計算 67
4.4 一般函數極限的計算 67
4.5 兩個重要極限 68
4.6 洛必達法則及應用 70
第5章 高等數學應用教學案例 72
5.1 零點定理的應用 72
5.2 重要極限 的應用 73
5.3 導數概念的應用 75
5.4 極值應用問題 75
5.5 定積分的應用 82
5.5.1 幾何應用 82
5.5.2 物理應用 90
5.5.3 經濟應用 94
5.5.4 電學應用 96
5.6 常微分方程應用 99
5.7 重積分應用問題 101
5.8 級數應用問題 102
第6章 數學實驗教學改革與實踐 106
6.1 數學實驗教學改革與實踐情況 106
6.1.1 實驗考核的方式 106
6.1.2 微積分機考樣題 107
6.2 MATLAB簡介 111
6.3 MATLAB 6.5集成環境 112
6.3.1 MATLAB主窗口 112
6.3.2 工作空間窗口 113
6.3.3 MATLAB幫助系統 114
6.3.4 MATLAB變量命名規則 115
6.3.5 數值計算結果的顯示格式 115
6.3.6 MATLAB指令行中的標點符號 115
6.3.7 MATLAB指令窗的常用控制指令 116
6.3.8 MATLAB中的函數 116
6.4 求極限 119
6.5 求導數 120
6.6 求積分 122
6.7 求常微分方程（組）的解析解 123
6.8 求函數的Taylor級數 124
6.9 矩陣運算 125
6.10 解線性方程組 127
6.11 統計與檢驗 130
6.11.1 數據統計處理 130
6.11.2 求離散隨機變量的數學期望 131
6.11.3 求離散型隨機變量的樣本方差 132
6.11.4 常見分布的密度函數圖形 132
6.11.5 正態分布的參數估計 136
6.11.6 已知，單個正態總體的均值μ的假設檢驗（U檢驗法） 136
6.11.7 未知，單個正態總體的均值μ的假設檢驗（t檢驗法） 137
6.11.8 兩個正態總體均值差的檢驗（T檢驗） 138
第7章 微分學中的微分幾何研究 140
7.1 一般曲線的認識 140
7.2 直線方程的推演 141
7.3 曲線切線方程的建立 141
7.4 曲線的性態討論 143
7.4.1 曲線的曲率與撓率 143
7.4.2 有關定理 145
7.4.3 曲線的曲率與撓率計算 146
7.4.4 平面曲線的單調性及極值 147
7.4.5 平面曲線的凹凸性及拐點 148
7.5 數量場與向量場 150
7.6 方向導數和梯度 151
7.6.1 方向導數 151
7.6.2 梯度 152
第8章 格林、高斯公式應用研究 154
8.1 兩個引理 154
8.2 理論應用分析 154
8.3 斯托克斯公式與無旋場 156
8.4 對調和函數的研究 157
8.5 黎曼公式 160
8.6 阿基米德定律 161
8.7 關于波動方程的解 161
8.8 散度概念 163
8.9 熱傳導方程 163
第9章 矩陣的初等行變換及其應用 164
9.1 矩陣的初等行變換 164
9.2 矩陣的秩及求法 165
9.3 方陣的逆矩陣及求法 167
9.4 線性方程組及其求解 169
9.4.1 基本概念 169
9.4.2 線性方程組解的判定 171
9.4.3 高斯消元法 174
9.4.4 基礎解系及通解 178
9.5 典型例題分析 181
第10章 基于AHP和FCE的高等數學 實驗教學質量綜合評價 186
10.1 引言 186
10.2 指標體系的建立[1]- [2] 186
10.3 綜合評價模型[3] 187
10.3.1 建立因素集和評價集 187
10.3.2 確定評價因素的權重 187
10.3.3 模糊綜合評價 188
10.4 舉例分析 188
10.5 結束語 189
附錄1 高等數學課程標準 190
附錄2 工程數學課程標準 202
參考文獻 208

1. 高等數學（下冊） [秦紅兵]
2. 高等數學（上冊） [主編 白莉 秦紅兵]
3. 高等數學（下冊）（第二版） [主編 何春江]
4. 高等數學（上冊）（第二版） [主編 何春江]
5. 高等數學 [主編 劉彥輝 張 靜]
6. 高等數學學習輔導與習題解答（第三版） [主編 翟秀娜]
7. 高等數學（下冊） [何春江]
8. 高等數學（上冊） [何春江]
9. 高等數學（下冊）課后習題詳解及考研題型解析 [何紅洲]
10. 高等數學學習指導與習題解答（經管、文科類） [主 編 郭照莊]
11. 高等數學（下冊） [何紅洲]
12. 高等數學（第三版） [何春江]
13. 高等數學（下冊）（經管、文科類） [主編 張翠蓮]
14. 高等數學（上冊）（經管、文科類） [主編 張翠蓮]
15. 高等數學（下冊） [主 編 黃玉娟 李愛芹]
16. 高等數學（上冊）課后習題詳解及考研題型解析 [何紅洲]
17. 高等數學（上冊） [主 編 黃玉娟 李愛芹]
18. 高等數學（上冊） [主編 何紅洲]
19. 應用高等數學教程（能力提升篇） [主編 楊勇 黃慶波]
20. 應用高等數學教程（專業拓展篇） [楊勇 徐健清]
21. 應用高等數學教程（公共基礎篇） [楊勇 張靜文]
22. 高等數學 [朱福臣]
23. 高等代數（第三版）全程輔導及習題精解 [李坤金]
24. 高等數學與數學軟件（第二版） [主 編 吳小濤 馬倩 金凌輝]
25. 高等數學（第六版•下冊）同步輔導及習題全解 [蘇志平 郭志梅]
26. 高等數學（第六版•上冊）同步輔導及習題全解 [蘇志平 郭志梅]
27. 高等數學（上冊） [趙曉晶 付國華 主 編 ]
28. 高等數學與數學軟件 [吳小濤 馬倩 主 編 ]
29. 高等數學 [石寧 劉競 劉青桂]
30. 應用高等數學（上、下冊） [楊勇]