前 言

離散數學是計算機學科的核心課程，是一門理論抽象、內容廣泛、結構嚴謹的計算機相關專業的基礎課程。它不僅與后續課程，如數據結構、數據庫原理、操作系統、人工智能等有緊密聯系，而且對于訓練和培養學生的抽象和邏輯思維能力，提高學生的科研素質方面都有著十分重要的作用。

為了適應省級示范性軟件學院及計算機相關專業《離散數學》教學改革的需要，提高學生應用理論知識解決實際問題能力的需要，根據教育部高等學校計算機科學與技術教學指導委員會頒布的計算機相關專業教學基本要求，針對地方院校的教學對象、教學特點和方法進行研究，我們提出了“《離散數學》軟件工程化教學改革”研究課題和編寫應用型《離散數學》教材任務，并得到教育主管部門的立項支持。為了編寫好本教材，參考了美國俄克拉荷馬（Oklahoma）大學的Beseme項目出版的《軟件工程數學》等教材。編寫教材內容注重理論知識的講解和邏輯推理的訓練，也注重應用離散數學知識分析專業課程的實際問題，討論離散數學對后續專業課的影響，引入軟件工程化應用范例和實踐性內容，加強實踐能力的培養。

本書包含數理邏輯、集合論、代數結構、圖論四部分內容。每部分內容結合建構主義教學理論，設計不同離散數學應用案例，提供學習《離散數學》的應用場景。每一章選擇了有意義的范例和實驗項目，有利于學生通過編程實踐增進對離散數學知識的理解和應用，提高學生的學習興趣。全書體系嚴謹、敘述深入淺出。每部分內容都分為基礎知識章節和高級應用章節（帶*部分），便于教師根據學時要求選講章節內容，適合不同學時的授課（刪除帶**章節，可采用90學時教學，再刪除帶*章節，可采用60學時教學），也方便軟件開發人員參考應用。

本書的數理邏輯部分第1～3章由邱曉紅編寫，集合論部分第4～7章由李光泉編寫，代數結構部分第8～9章由張帆編寫，第10章由艾施榮編寫，圖論部分第11～13章由熊煥亮編寫。全書由邱曉紅教授進行組織整理和統一風格。本書配套提供的實驗程序源代碼和演示范例，很多出自教學過程中指導學生參加各類軟件大賽的作品，有些內容是“《離散數學》軟件工程化教學改革”（JXJG-08-4-28）、“教學與科研有機結合提高教學質量和學生綜合素質的研究”（2008B2ZB04）、“實施本科生全程導師制教育培養模式的研究——以江西省高校軟件學院為例”（08YB078）、“軟件工程融合傳統專業復合型創新人才培養模式研究”（JXJG-12-6-15）等教改課題的研究成果，在此特別感謝有關單位領導和作者的支持。在編寫過程中還參閱了大量的《離散數學》書籍和有關教學研究論文資料，在此向有關作者表示衷心的感謝。

本書再版時，對有些章節順序作了適當調整和刪減，修訂了初版中的錯誤，使得全書內容邏輯層次更加清晰完整。再版過程中，南昌大學幸冬梅博士、江西理工大學劉展、曾麗華老師，審閱了全稿，提出了寶貴的意見和建議，在此深表謝意。

由于時間倉促及編輯者水平有限，懇請廣大讀者及同行專家批評指正。

編 者

2014年10月

前言
第一部分 數理邏輯
第1章 命題邏輯 3
1.1 命題及其表示 3
1.1.1 命題的基本概念 3
1.1.2 命題分類 4
1.1.3 命題標識符 4
1.2 邏輯聯結詞 5
1.2.1 否定聯結詞 5
1.2.2 合取聯結詞 5
1.2.3 析取聯結詞 6
1.2.4 條件聯結詞 7
1.2.5 雙條件聯結詞 7
1.2.6 字位運算與布爾檢索 8
1.3 命題公式與解釋 9
1.3.1 命題公式 9
1.3.2 命題的符號化 10
1.4 真值表與等價公式 12
1.4.1 真值表 12
1.4.2 等價公式 13
1.5 命題公式的分類與蘊含式 17
1.5.1 命題公式的分類 17
1.5.2 重言式與矛盾式的性質 18
1.5.3 蘊含式 18
1.6 其他邏輯聯結詞和最小功能完備聯結詞組 21
1.6.1 其他邏輯聯結詞 21
1.6.2 最小功能完備聯結詞組 22
1.6.3* 聯結詞的邏輯電路表示 23
1.7 對偶與范式 24
1.7.1 對偶式與對偶原理 24
1.7.2 命題公式的范式 26
1.7.3 命題公式的主析取范式和主合取范式 28
1.8 推理理論 37
1.8.1 直接證法 38
1.8.2 間接證法 40
習題一 42
實驗一 真值表的程序計算 47
第2章 謂詞邏輯 49
2.1 謂詞的基本概念 49
2.1.1 個體和謂詞 49
2.1.2 量詞 51
2.2 謂詞公式與符號化解釋 52
2.2.1 謂詞公式 52
2.2.2 謂詞公式的符號化 53
2.3 變元的約束 54
2.3.1 約束變元和自由變元 54
2.3.2 換名規則 55
2.3.3 代替規則 56
2.4 謂詞演算的等價式與蘊含式 56
2.4.1 謂詞公式的賦值 56
2.4.2 謂詞公式的分類 57
2.4.3 謂詞演算的等價式 58
2.4.4 謂詞演算的蘊含式 62
2.5* 謂詞公式范式 64
2.5.1 前束范式 64
2.5.2 斯柯林范式 65
2.6* 謂詞演算的推理理論 66
2.6.1 US規則（Universal Specification，全稱指定規則） 66
2.6.2 UG規則（Universal Generalization，全稱推廣規則） 66
2.6.3 ES規則（Existential Specification，存在指定規則） 66
2.6.4 EG規則（Existential Generalization，存在推廣規則） 67
習題二 71
實驗二 命題邏輯簡單推理系統 73
第3章 基于歸結原理的推理證明** 75
3.1 謂詞公式與子句集 75
3.1.1 斯柯林（Skolem）標準范式 75
3.1.2 子句與子句集 76
3.1.3 不可滿足意義下的一致性 76
3.1.4 P＝P1∧P2∧…∧Pn的子句集 76
3.2 海伯倫（Herbrand）理論 77
3.2.1 H域 77
3.2.2 原子集 77
3.2.3 H域上的解釋 77
3.3 歸結原理（Resolution Method） 78
3.3.1 置換與合一 78
3.3.2 命題邏輯中的歸結原理 79
3.3.3 一階謂詞邏輯中的歸結原理 80
3.3.4 歸結原理的完備性 81
3.3.5 利用歸結原理進行定理證明 81
3.3.6 應用歸結原理進行問題求解 81
3.4 歸結過程的控制策略 83
3.4.1 引入控制策略 83
3.4.2 歸結控制策略及其應用舉例 83
習題三 84
實驗三 歸結原理的程序實現 85
第二部分 集合論
第4章 集合及其運算 89
4.1 集合的概念及其表示 89
4.1.1 集合的概念 89
4.1.2 集合與集合間的關系 90
4.1.3 冪集（Power Set） 91
4.2 集合的基本運算 91
4.2.1 集合的并（Union）運算 91
4.2.2 集合的交（Intersection）運算 92
4.2.3 集合的交運算與并運算之間的關系 93
4.2.4 集合的補（Substraction）運算 93
4.2.5 集合的對稱差（Symmetric Difference）運算 94
4.2.6 集合的計算機表示 96
4.3 集合中元素的計數 97
4.3.1 兩個基本原理 97
4.3.2 排列、組合 97
4.3.3 容斥原理 98
4.4 集合的應用 100
4.4.1 數據表的并（∪）運算 101
4.4.2 數據表的差（-）運算 101
4.4.3 數據表的交（∩）運算 101
習題四 102
實驗四 集合的基本運算 104
第5章 二元關系 106
5.1 集合的笛卡兒積 106
5.1.1 序偶（Ordered Pair） 106
5.1.2 笛卡兒積（Cartesian Product） 107
5.2 二元關系 109
5.2.1 二元關系的基本概念 109
5.2.2 二元關系的表示 109
5.2.3 關系的運算 110
5.2.4 關系的性質 114
5.2.5 關系的閉包（Closure）運算 116
5.3 等價關系 122
5.3.1 集合的劃分（Partion of Set） 122
5.3.2 等價關系（Equivalent Relation）與等價類 124
5.4 相容關系* 127
5.4.1 集合的覆蓋（Covering） 127
5.4.2 相容關系（Consistent Relation）與相容類 127
5.5 偏序關系 130
5.5.1 偏序關系（Partial Relation）與偏序集的概念 130
5.5.2 偏序集的哈斯（Hasse）圖 131
5.5.3 偏序集中的特殊元 132
5.5.4 全序關系（Complete Partial Relation）及其應用 134
5.6 關系的應用 135
5.6.1 等價關系在計算機中的應用 135
5.6.2 序關系在項目管理中的應用 136
習題五 137
實驗五 求關系的閉包 140
第6章 函數 142
6.1 函數的概念 142
6.1.1 函數（Function）的概念 142
6.1.2 幾類特殊函數 143
6.2 逆函數與復合函數 145
6.2.1 逆函數 145
6.2.2 復合函數 146
習題六 148
實驗六 函數的圖形可視化 150
第7章 集合的基數** 151
7.1 集合的等勢與優勢 151
7.2 基數、可數集與不可數集 151
7.2.1 基數 152
7.2.2 可數集與不可數集 153
7.2.3 基數的比較 157
習題七 159
實驗七 自然數性質的可視化表示 160
第三部分 代數結構
第8章 代數系統 163
8.1 代數系統的概念 163
8.2 代數系統的運算及其性質 165
8.3 半群、群與子群 170
8.4 同態與同構* 175
8.5 交換群與循環群、置換群 182
8.5.1 交換群 182
8.5.2 循環群 183
8.5.3 置換群 184
8.6 子群與群的陪集分解* 186
8.7 環與域* 189
習題八 194
實驗八 代數系統的基本運算 198
第9章 形式語言和自動機 200
9.1 語言 200
9.2 形式語言和文法 203
9.3 有限狀態機 205
9.4 有限狀態自動機 206
9.5 語言與自動機的關系* 211
習題九 215
實驗九 設計輸出狀態自動機實驗 219
第10章 格與布爾代數* 220
10.1 格的概念 220
10.2 分配格 228
10.3 有補格 232
10.4 布爾代數與布爾表達式** 234
10.5 數字電路邏輯運算 243
習題十 246
實驗十 代數系統綜合課程設計 247
第四部分 圖論
第11章 圖的基本概念 251
11.1 圖的概念 251
11.1.1 無向圖和有向圖 251
11.1.2 簡單圖、多重圖和同構圖 252
11.1.3 完全圖和正則圖 255
11.1.4 幾種特殊的圖 255
11.1.5 子圖 257
11.1.6 圖的操作 258
11.2 圖的連通性 259
11.2.1 通路與回路 259
11.2.2 連通圖 260
11.2.3 二部圖 263
11.3 圖的矩陣表示 264
11.3.1 關聯矩陣 265
11.3.2 鄰接矩陣 266
11.3.3 可達矩陣 268
11.4 圖的運算 268
11.5 歐拉圖 269
11.5.1 歐拉通路和回路 269
11.5.2 半歐拉圖和歐拉圖 270
11.6 哈密頓圖 273
11.6.1 哈密頓圖 274
11.6.2 哈密頓圖的判斷條件 275
11.7 帶權圖 278
11.8 平面圖 278
11.8.1 平面圖的基本概念及性質 278
11.8.2 庫拉托夫斯基定理 280
11.8.3 平面圖著色及應用 281
11.8.4 邊著色 282
11.9 應用舉例* 284
11.9.1 中國郵路問題 284
11.9.2 冰箱分隔問題 286
11.9.3 排課表問題 287
習題十一 288
實驗十一 應用鄰接矩陣方法求解鎖具裝箱問題 292
第12章 樹 294
12.1 樹的概念及性質 294
12.1.1 樹的定義 294
12.1.2 樹的一些性質 294
12.2 最小生成樹 295
12.2.1 生成樹 295
12.2.2 最小代價生成樹 297
12.3 根樹 298
12.3.1 根樹的定義 298
12.3.2 根樹的分類 299
12.4 樹的應用* 300
12.4.1 決策樹 300
12.4.2 博弈樹 301
習題十二 302
實驗十二 應用生成樹算法求解旅行商問題 304
第13章 支配集、覆蓋集、獨立集與匹配理論* 306
13.1 支配集、覆蓋集、獨立集概念 306
13.1.1 支配集 306
13.1.2 覆蓋集 306
13.1.3 獨立集 307
13.2 邊覆蓋集與匹配 308
13.3 二部圖中的匹配 311
13.4 圖論的綜合應用舉例** 312
13.4.1 會議議程安排問題 312
13.4.2 大中型工程項目的優化 315
習題十三 320
實驗十三 程序求解支配集、獨立集問題 322
《離散數學》常用符號表 323
參考文獻 327

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