1.介紹建模常用的數學方法，配備了手算和計算機計算相結合的例題

2.強調利用計算機解決數學問題，提供了相應的MATLAB命令和程序

3.在每章的最后一節，結合相關知識介紹了一些完整的數學建模案例

4.為了加深對內容的理解，書中輔以大量可視化圖形和表格形式的數據

5.章后附有應用性習題，強調問題解決的實際操作可能性，易于實踐

在科學技術迅猛發展的今天，數學的應用范圍空前廣泛，幾乎滲透到自然科學和社會科學的各個領域，而數學建模正是數學走向應用的必經之路，是用數學方法解決實際問題的橋梁。在這樣的新形勢下，世界各國越來越多的大學（甚至中學）開設了數學建模課程，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力和創新精神。

數學建模本質上就是從實際問題中提煉數學模型，并對其求解、檢驗，再用它解釋和回答原問題的整個過程。學生參加數學建�；顒樱�首先就要了解問題的實際背景，這就需要學生具有能迅速查閱大量科學資料，準確獲得自己所需信息的能力；同時，還需要學生了解現代數學各門學科知識和各種數學方法，把所掌握的數學工具創造性地應用于具體的實際問題，構建其數學結構，還要能夠熟練應用各種數學軟件解決實際問題。在數學建模過程中，利用計算機這一現代化工具是非常重要和十分有效的，用它既可以進行數據處理，又可以進行數值計算、繪制圖形和仿真模擬。顯然，數學建模的教學和實踐打破了傳統數學教學自成體系、自我封閉的局面，為數學和外部世界的聯系打開了一條通道。數學建模課程教學對于開發學生的創新意識，提升學生的數學素養，培養學生創造性地應用數學工具解決實際問題的能力，有著獨特的功能。

編寫本書旨在為大專院校的師生提供一本理論與實踐相結合的數學建模教材。本書的特點是集數學理論知識、數學實驗和數學建模為一體，既提供了數學建模過程中常用的數學方法，又與常用的數學軟件（主要是MATLAB）相結合，給出了相應的函數命令和程序，通過解決具體的模型案例，使學生能夠深入理解數學建模過程中的一些基本數學知識，較熟練地使用MATLAB軟件，培養學生運用所學知識建立數學模型，并使用計算機解決實際問題的能力。

參加本書編寫的同志，主要由具有多年教授數學建模課程的老師和近年來指導學生參加全國大學生數學建模競賽并取得名次的教師組成。具體分工如下：劉仁云負責統稿及組織協調工作，并撰寫第12章，李東平撰寫第8、11、13章，侯國亮撰寫第4、10章，戰珊珊撰寫第3章，羅英語撰寫第1章，李東平、羅英語共同撰寫第6章，張曉麗撰寫第5章，付靜撰寫第7章，梁四化撰寫第9章，劉仁云與戰珊珊共同撰寫第2章，張曉麗負責組織及文字校對工作，劉仁云、李東平、侯國亮負責全書質量把關。

本書各章均可獨立講授，教師可根據實際情況作出適當選擇，不同的學時、不同的層次院校和專業，可以從中選擇不同的內容。由于時間倉促及作者水平有限，書中難免有不足及疏漏之處，懇請廣大讀者批評指正。

編 者

2010年10月

前言

第1章 數學建模簡介 1
1.1 數學建模的概念、方法和意義 1
1.1.1 數學模型的概念和分類 1
1.1.2 數學建模的步驟 1
1.1.3 數學建模的特點 2
1.1.4 數學建模的方法 3
1.1.5 學習數學建模的意義 4
1.2 數學建模論文的撰寫方法 5
1.3 數學建模實例：雙層玻璃的功效 6
1.4 思考題 8
第2章 數學建模涉及的軟件介紹 10
2.1 用于數學建模的幾種常見軟件 10
2.1.1 數值計算軟件MATLAB 10
2.1.2 優化軟件 LINGO/LINDO 11
2.1.3 科學計算軟件Mathematica 11
2.1.4 統計軟件SPAA和SAS 12
2.2 示例 13
2.3 習題 19
第3章 MATLAB入門 20
3.1 MATLAB的安裝及使用 20
3.2 MATLAB中的變量及函數 20
3.3 MATLAB矩陣運算 25
3.3.1 創建矩陣 25
3.3.2 矩陣中元素的訪問 26
3.3.3 矩陣的運算 27
3.4 基本平面繪圖命令 32
3.5 基本三維繪圖命令 33
3.6 MATLAB程序設計 34
3.7 M文件 39
3.8 習題 40
第4章 MATLAB在數值計算中的應用 42
4.1 求方程的根 42
4.1.1 二分法 42
4.1.2 不動點迭代 43
4.1.3 牛頓法及割線法 44
4.1.4 兩個MATLAB求根函數 46
4.2 求方程組的根 47
4.2.1 線性方程組 47
4.2.2 非線性方程組 51
4.3 數值積分 53
4.3.1 梯形求積 53
4.3.2 Simpson求積 54
4.3.3 Gauss求積 54
4.3.4 二重積分 56
4.3.5 三重積分 56
4.4 數值微分 57
4.5 習題 60
第5章 線性規劃模型 62
5.1 線性規劃模型 62
5.2 線性規劃的解法 64
5.3 用LINGO解線性規劃 68
5.4 線性規劃案例分析：投資的收益和風險 72
5.5 習題 75
第6章 無約束優化 77
6.1 無約束優化問題的描述 77
6.1.1 無約束優化問題的最優性條件 78
6.1.2 最優化方法結構 78
6.2 無約束優化問題的求解 79
6.2.1 一維搜索方法 79
6.2.2 最速下降法（梯度法） 84
6.2.3 牛頓法 85
6.2.4 擬牛頓法 86
6.3 用MATLAB求解無約束優化 88
6.4 案例分析 90
6.5 習題 93
第7章 約束非線性規劃 94
7.1 約束非線性規劃問題的描述 94
7.2 約束非線性規劃問題的求解 96
7.3 用MATLAB求解非線性規劃 99
7.4 案例分析 102
7.4.1 飛行管理問題 102
7.4.2 節約洗衣機用水問題 105
7.5 習題 106
第8章 插值與擬合 108
8.1 問題的提出 108
8.2 常見插值方法 108
8.2.1 插值法的基本原理 108
8.2.2 Lagrange插值 109
8.2.3 Newton插值 111
8.2.4 分段插值 112
8.2.5 三次樣條插值 113
8.3 用MATLAB求解插值問題 115
8.3.1 一維插值 115
8.3.2 二維插值 118
8.4 數據擬合 119
8.4.1 曲線擬合的線性最小二乘法 119
8.4.2 非線性擬合 120
8.5 用MATLAB解曲線擬合問題 121
8.5.1 多項式擬合 121
8.5.2 一般的曲線擬合 122
8.6 案例分析 123
黃河小浪底調水調沙問題 123
模型的建立與求解 124
8.7 習題 126
第9章 微分方程理論與數學建模 129
9.1 常微分方程及其模型 129
9.1.1 微分方程的基本概念 129
9.1.2 微分力程的建立及求解 130
9.2 差分方程及其模型 138
9.2.1 基本概念 139
9.2.2 差分方程常用解法與性質分析 141
9.2.3 差分方程舉例 142
9.3 用MATLAB解常微分方程 147
9.3.1 相關函數（命令）及簡介 148
9.3.2 幾個例子 149
9.4 案例分析 154
9.5 習題 155
第10章 圖論與最短路模型 156
10.1 圖論的基本概念 156
10.1.1 圖的概念 156
10.1.2 圖的矩陣表示 157
10.2 最短路問題及其算法 159
10.2.1 基本概念 159
10.2.2 固定起點的最短路 159
10.2.3 每對頂點之間的最短路 162
10.3 最短路問題案例分析 165
10.3.1 可化為最短路問題的多階段決策
問題 165
10.3.2 選址問題 167
10.4 最優化樹的求解 169
10.4.1 基本概念 169
10.4.2 求解算法 169
10.5 案例分析：最優截斷切割問題 173
10.5.1 問題 173
10.5.2 假設 173
10.5.3 模型的建立與求解 173
10.6 習題 177
第11章 數據的統計描述和分析 179
11.1 統計的基本概念 179
11.1.1 總體和樣本 179
11.1.2 基本統計量 179
11.1.3 統計中常用的幾個概率分布 180
11.2 頻數直方圖 184
11.3 參數估計 185
11.3.1 參數的點估計 185
11.3.2 參數的區間估計 188
11.3.3 參數估計的MATLAB實現 191
11.4 假設檢驗 192
11.4.1 假設檢驗的基本概念 192
11.4.2 正態總體均值的假設檢驗 193
11.4.3 分布的假設檢驗 197
11.5 建模實例 199
11.5.1 嬰兒出生時刻問題 199
11.5.2 身高變化問題 201
11.6 習題 204
第12章 回歸分析 206
12.1 一元線性回歸 206
12.1.1 線性回歸的概念 206
12.1.2 線性回歸的數學模型 207
12.1.3 回歸系數的估計 207
12.1.4 檢驗、預測與控制 208
12.1.5 可線性化的一元非線性回歸
（曲線回歸） 210
12.2 多元線性回歸 211
12.2.1 數學模型及定義 211
12.2.2 模型參數估計 212
12.2.3 多元線性回歸中的檢驗與預測 212
12.2.4 逐步回歸分析 213
12.3 用MATLAB進行回歸分析 214
12.3.1 MATLAB統計工具箱中的回歸
分析命令 214
12.3.2 多元線性回歸 215
12.3.3 多項式回歸 217
12.3.4 非線性回歸 221
12.3.5 逐步回歸 222
12.4 習題 225
第13章 2010年數學建模大賽獲獎論文范例 227
附錄 245
參考文獻 254

1. 數學建模案例精編 [吳建國 主編]