本書是根據教育部頒布的高等學校工科數學課程教學基本要求，結合多年的教學實踐和體會，廣泛攝取各版本教材改革之所長，同時兼顧本科報考研究生入學考試對線性代數的要求而編寫的。在內容、結構方面做了必要的調整，這不僅使內容更具緊湊性，系統性更強，也更適應目前大多數院校面臨的教學內容多、學時少以及教學要求不斷提高的需求；在基本保持傳統體系和內容的同時，力求將線性代數的抽象理論形象化、具體化；本書以循序漸進、“以例服理”貫穿于始末；語言簡練，通俗易懂，便于教師教學和學生學習。

線性代數是高等學校理工科各專業學生必修的一門數學基礎課程，是學習現代科學技術的重要理論基礎，它有益于培養當代大學生的計算和抽象思維能力。本書適用于大學理工科非數學類專業學生，它不僅是學習計算數學、微分方程、離散數學等后續課程的必備基礎，也是在自然科學和工程技術各領域中應用廣泛的數學工具。隨著計算機的日益普及，線性代數在理論和應用上的重要性愈顯突出，高等院校的計算機、信息工程、自動控制、管理等各專業對線性代數的教學內容從深度以及廣度上的要求越來越高，線性代數教材也應“與時俱進”，以適應當今的各類教學需求，這也就使得本書能應運而生。

本書是根據教育部頒布的高等學校工科數學課程教學基本要求，結合多年的教學實踐和體會，廣泛攝取各版本教材改革之所長，同時兼顧本科報考研究生入學考試對線性代數的要求而編寫的。我們在內容、結構方面做了必要的調整，這不僅使內容更具緊湊性，系統性更強，也更適應目前大多數院校面臨的教學內容多、學時少以及教學要求不斷提高的需求；在基本保持傳統體系和內容的同時，力求將線性代數的抽象理論形象化、具體化；本書以循序漸進、“以例服理”貫穿于始末；語言簡練，通俗易懂，便于教師教學和學生學習。

本書引入數學軟件，增加了用數學軟件做數學的基本方法，使學生能對現有大型數學軟件之一——Mathematica軟件有個初步了解，并掌握一些常用的基本操作方法（此部分內容可在選修課中講授，若條件允許可隨教材同步講授）。

本書參考學時58學時，50學時可選學前6章內容，40學時可選學前五章內容，其中帶“*”號部分內容，可根據專業的不同需求酌情刪減。本書每章都有學習目標、小結，對所學知識進行簡單歸納和整理，便于學生復習與提高；每章都配有適量習題，均以同濟大學第三版中的習題為主；每章還配有同步測試題，便于學生復習鞏固，提高學習質量，題型與考研題型相吻合，并伴有部分考研復習題；書末附有習題和同步測試題的提示及答案。

本書由牛莉主編，第1章、第2章、第3章、第4章、第8章由牛莉編寫，第5章、第6章、第7章由張翠蓮編寫．參加本書編寫工作的還有：何春江、畢亞軍、翟秀娜、曾大有、張京軒、鄧鳳茹、王明妍、趙艷、王曉威、張欽禮、張文治等。

本書的問世得到了系領導及同行們的熱情關心與大力支持，編寫過程中參閱了大量書籍，引用了一些典型例子等，恕不一一指明出處及相關作者，在此一并向他們表示衷心的感謝！

鑒于編者水平有限，疏漏與不當之處在所難免，懇切希望同行及讀者給予批評指正。

編 者

2005年5月

第1章 行列式 1
本章學習目標 1
1.1 全排列及其逆序數 1
1.1.1 排列與逆序 1
1.1.2 對換 2
1.2 行列式的概念 3
1.2.1 二、三階行列式 3
1.2.2 n階行列式的定義 7
1.3 行列式的性質 10
1.4 行列式按行（列）展開 15
1.4.1 行列式按某一行（列）展開 15
1.4.2* 行列式按某k行（列）展開 20
1.5 克拉默（Cramer）法則 22
本章小結 26
習題1 27
第1章同步測試題 30
第2章 矩陣 34
本章學習目標 34
2.1 矩陣的概念 34
2.1.1 矩陣的定義 34
2.1.2 幾種特殊形式的矩陣 35
2.2　矩陣的運算 37
2.2.1 矩陣的線性運算 37
2.2.2 矩陣與矩陣相乘 38
2.2.3 矩陣的轉置 43
2.2.4 方陣的行列式 44
2.2.5 共軛矩陣 45
2.3 逆矩陣 45
2.3.1 逆矩陣的定義及性質 46
2.3.2 方陣A可逆的充分必要條件及A-1的求法 47
2.4 分塊矩陣 52
2.4.1　分塊矩陣的概念 52
2.4.2 分塊矩陣的運算 54
2.5 矩陣的初等變換與初等矩陣 58
2.5.1 矩陣的初等變換 58
2.5.2 初等矩陣 59
2.6 矩陣的秩 63
2.6.1 矩陣秩的定義 63
2.6.2 矩陣秩的性質 64
2.6.3 初等變換求矩陣的秩 64
本章小結 66
習題2 67
第2章同步測試題 70
第3章 向量組的線性相關性 74
本章學習目標 74
3.1 n維向量 74
3.1.1 n維向量的定義 74
3.1.2　n維向量的線性運算 76
3.2 向量組的線性相關性 77
3.2.1　向量組的線性組合 77
3.2.2 向量組的線性相關與線性無關 78
3.2.3 向量組線性相關的充分必要條件 79
3.3 線性相關性的判別定理 84
3.4 向量組的秩 87
3.4.1 向量組等價的概念 87
3.4.2　極大線性無關組與向量組的秩 88
3.4.3　向量組的秩與矩陣秩的關系 91
3.4.4 初等變換求向量組的秩 91
3.5 向量空間 94
3.5.1 向量空間的概念 94
3.5.2 向量空間的基與維數 96
本章小結 97
習題3 98
第3章同步測試題 100
第4章 線性方程組 103
本章學習目標 103
4.1 齊次線性方程組 103
4.2 齊次線性方程組解的結構 104
4.3 非齊次線性方程組解的結構 111
本章小結 117
習題4 118
第4章同步測試題 120
第5章 相似矩陣 125
本章學習目標 125
5.1 方陣的特征值與特征向量 125
5.1.1 方陣的特征值、特征向量與特征多項式 125
5.1.2 特征值的性質 135
5.1.3 特征向量的性質 137
5.2 相似矩陣 139
5.2.1 相似矩陣的概念 139
5.2.2 相似矩陣的性質 140
5.3 向量的內積、正交化方法 147
5.3.1 向量的內積 147
5.3.2 向量的長度 149
5.3.3 正交向量組 150
5.3.4 正交化方法 152
5.3.5 正交矩陣 154
5.4 實對稱矩陣的對角化 156
5.4.1 實對稱矩陣的性質 156
5.4.2 實對稱矩陣的相似對角化 157
本章小結 163
習題5 168
第5章同步測試題 170
第6章 二次型 174
本章學習目標 174
6.1 二次型及其矩陣表示 174
6.1.1 合同矩陣 174
6.1.2 二次型及其矩陣表示 175
6.2 化二次型為標準形 177
6.2.1 二次型的標準形 177
6.2.2 用正交變換法化二次型為標準形 178
6.2.2 用配方法化二次型為標準形 179
6.3 正定二次型 183
*6.4 二次型的應用舉例 186
6.4.1 二次曲面方程的化簡 186
6.4.2 求多元可導函數的極值點 188
6.4.3 瑞利（Rayleigh）商 189
本章小結 190
習題6 194
第6章同步測試題 195
第7章 線性空間與線性變換 198
本章學習目標 198
7.1 n維線性空間 198
7.1.1 n維線性空間的概念 198
7.1.2 基、維數與坐標 201
7.1.3 基變換與坐標變換公式 203
7.2 線性變換 208
7.2.1 線性變換的定義 208
7.2.2 線性變換的簡單性質 209
7.2.3 線性變換的運算 210
7.3 線性變換的矩陣表示 213
7.3.1 線性變換在一個基下的矩陣 213
7.3.2 線性變換在不同基下的矩陣之間的關系 217
7.3.3 線性變換運算所對應的矩陣 218
7.3.4 線性變換A的矩陣為對角矩陣的充要條件 219
本章小結 219
習題7 222
第7章同步測試題 225
第8章＊ Mathematica軟件應用 227
8.1 行列式與矩陣的運算 227
8.1.1 實驗目的 227
8.1.2 內容與步驟 227
8.2 線性方程組的求解 229
8.2.1 實驗目的 229
8.2.2 內容與步驟 230
8.3 施密特正交化和二次型的標準化 233
8.3.1 實驗目的 233
8.3.2 內容與步驟 233
附錄　習題、同步測試題提示及參考答案 237
參考文獻 266

1. 線性代數導學篇 [主編 史昱]
2. 線性代數 [主編 史昱 陳鳳欣]
3. 線性代數 [主編 惠小健 王震 盧鴻艷]
4. 深入淺出線性代數 [鄧子云]
5. 線性代數 [主 編 唐再良 何紅洲]
6. 線性代數（第二版）學習指導與習題解答 [主編 孫月芳]
7. 線性代數（第二版） [主 編 張翠蓮]
8. 線性代數 [主編 楊振起 史昱]
9. 經濟數學——線性代數 [主編 李宗強 史昱]
10. 經濟應用數學基礎（二）線性代數（第四版）全程輔導及習題精解 [郭志梅]
11. 經濟數學——線性代數（第二版）同步輔導及習題全解 [劉波]
12. 線性代數（第五版）同步輔導及習題全解 [郭志梅 王曙東]
13. 線性代數 [鄭旭東 董勝偉]
14. 線性代數（第四版）同步輔導及習題全解 [主編 郭志梅 王曙東]
15. 線性代數 [牛莉 主編]
16. 線性代數 [張翠蓮 主編]
17. 線性代數（第五版）同步輔導及習題全解 [郭志梅 王曙東 主編]